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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben quer durch das Kapitel — vom Bildpunkt bis zum Abstand. Wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Abstand, Matrix, Kollinearität, Skalarprodukt, Koordinatenform, Schnittpunkt, Abstand und Schnittwinkel — jeweils mit einer Regel-Erinnerung.

A1
Abstand zweier Punkte
AFB I

Berechne den Abstand der Punkte \(A(1|{-2}|3)\) und \(B(3|4|6)\).

LE
Regel: \(d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)
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\(\overrightarrow{AB}=(2|6|3)\), \(\sqrt{4+36+9}=\sqrt{49}\) = 7
A2
Bildpunkt im Schrägbild
AFB I

Bilde \(P(4|2|5)\) mit \(M=\begin{pmatrix}-0{,}5&1&0\\-0{,}5&0&1\end{pmatrix}\) in die Zeichenebene ab. Gib beide Koordinaten von \(P^{\prime}\) an.

cm
cm
Regel: \(\vec p^{\prime}=M\cdot\vec p\): jede Zeile von \(M\) mit \(\vec p\) skalar multiplizieren.
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\(u=-0{,}5\cdot4+1\cdot2+0\cdot5=0\), \(v=-0{,}5\cdot4+0\cdot2+1\cdot5=3\) = (0 | 3)
A3
Kollineare Vektoren
AFB I

Bestimme \(r\) mit \((-3|6|{-1{,}5})=r\cdot(2|{-4}|1)\).

Regel: Kollinear: \(\vec b=r\cdot\vec a\) — der Faktor muss in allen drei Zeilen gleich sein.
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\(-3:2=6:(-4)=-1{,}5:1\) = −1,5
A4
Orthogonal machen
AFB I

Bestimme \(t\) so, dass \((3|t|{-2})\) und \((2|4|5)\) orthogonal sind.

Regel: Orthogonal \(\iff\vec a\cdot\vec b=0\).
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\(6+4t-10=0\Rightarrow t\) = 1
A5
Winkel zwischen Vektoren
AFB I

Berechne den Winkel zwischen \(\vec a=(2|1|2)\) und \(\vec b=(0|3|4)\) auf eine Nachkommastelle.

°
Regel: \(\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\)
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\(\vec a\cdot\vec b=0+3+8=11\), \(|\vec a|=3\), \(|\vec b|=5\): \(\cos\alpha=\tfrac{11}{15}\Rightarrow\alpha\approx\) = 42,8°
A6
Koordinatenform aufstellen
AFB I

Die Ebene \(E\) geht durch \(P(1|2|3)\) und hat den Normalenvektor \(\vec n=(2|{-1}|4)\). Gib \(d\) in \(2x_1-x_2+4x_3=d\) an.

Regel: \(d=\vec n\cdot\vec p\).
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\(2\cdot1-1\cdot2+4\cdot3\) = 12
A7
Spurpunkt
AFB I

Bestimme den Spurpunkt \(S_2\) der Ebene \(E\colon 3x_1+2x_2+6x_3=18\) mit der \(x_2\)-Achse. Gib seine \(x_2\)-Koordinate an.

Regel: Auf der \(x_2\)-Achse gilt \(x_1=x_3=0\).
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\(2x_2=18\), also \(S_2(0|9|0)\) = 9
A8
Schnittpunkt Gerade–Ebene
AFB I

Bestimme den Parameter \(t\) des Schnittpunkts von \(g\colon\vec x=(0|1|1)+t\,(2|1|1)\) mit \(E\colon x_1+x_2+x_3=6\).

Regel: Geradenpunkt zeilenweise in die Koordinatengleichung einsetzen.
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\(2t+(1+t)+(1+t)=2+4t=6\Rightarrow t=1\), \(S(2|2|2)\) t = 1
A9
Abstand Punkt–Ebene
AFB I

Berechne den Abstand von \(Q(3|1|4)\) zur Ebene \(E\colon 2x_1-x_2+2x_3=5\) auf zwei Nachkommastellen.

LE
Regel: \(d(Q,E)=\dfrac{|n_1q_1+n_2q_2+n_3q_3-d|}{|\vec n|}\)
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\(\dfrac{|6-1+8-5|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{8}{3}\approx\) = 2,67
A10
Schnittwinkel zweier Ebenen
AFB I

Berechne den Schnittwinkel von \(E\colon x_3=0\) und \(F\colon 2x_1+x_2+2x_3=4\) auf eine Nachkommastelle.

°
Regel: \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}\)
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\(\vec n_1=(0|0|1)\), \(\vec n_2=(2|1|2)\): \(\cos\varphi=\tfrac{2}{1\cdot3}\Rightarrow\varphi\approx\) = 48,2°