Die 12 häufigsten Fehler
1Spalten und Zeilen vertauscht
So wird oft gerechnet: Bild von e₁ = (−0,5 | −0,5) als erste Zeile von M eingetragen.
Richtig ist: Die Bilder der Einheitsvektoren stehen als Spalten in M; Probe: M · (1 | 0 | 0) = erste Spalte.
Spalte k = Bild von eₖ.
2Spannvektor als Normalenvektor
So wird oft gerechnet: E: x = p + r · (1 | 2 | 0) + s · (0 | 1 | 1) ⇒ n = (1 | 2 | 0).
Richtig ist: n muss auf beiden Spannvektoren senkrecht stehen: n · u = 0, n · v = 0 ⇒ n = (2 | −1 | 1).
Normalenvektor liegt nie in der Ebene.
3d mit dem falschen Vektor
So wird oft gerechnet: d = n · u (Spannvektor eingesetzt).
Richtig ist: d = n · p mit dem Stützpunkt — oder einem anderen Punkt der Ebene.
d kommt von einem Punkt.
4Hesse ohne Betrag oder ohne |n|
So wird oft gerechnet: d(Q,E) = n₁q₁ + n₂q₂ + n₃q₃ − d = −8
Richtig ist: d(Q,E) = |−8| / |n| — Betrag und Division durch die Länge von n gehören dazu.
Abstand ist positiv und durch |n| geteilt.
5Kosinus bei Gerade–Ebene
So wird oft gerechnet: cos φ = |u · n| / (|u| |n|) ⇒ φ = 15,8°.
Richtig ist: Zwischen Richtung und Normale liegt 90° − φ: sin φ = |u · n| / (|u| |n|) ⇒ φ = 74,2°.
Gerade–Ebene: Sinus.
6Stumpfer Schnittwinkel
So wird oft gerechnet: cos φ = n₁ · n₂ / (|n₁| |n₂|) = −0,6 ⇒ φ = 126,9°.
Richtig ist: Mit Betrag: cos φ = 0,6 ⇒ φ = 53,1°. Schnittwinkel liegen zwischen 0° und 90°.
Betrag im Zähler.
7u · n = 0 falsch gedeutet
So wird oft gerechnet: „u · n = 0, also liegt g in E.“
Richtig ist: u · n = 0 heißt nur: g ist parallel zu E oder liegt in E. Die Punktprobe mit dem Stützpunkt entscheidet.
Richtung parallel ≠ enthalten.
8Schnittgerade ohne Parameter
So wird oft gerechnet: x₁ + x₂ + x₃ = 6, x₁ − x₃ = 0 ⇒ „Schnittpunkt (2 | 2 | 2)“.
Richtig ist: Unterbestimmtes LGS: eine Variable = t setzen, s: x = (0 | 6 | 0) + t · (1 | −2 | 1).
Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
9Gleicher Parameter bei zwei Geraden
So wird oft gerechnet: p + t · u = q + t · v gleichgesetzt.
Richtig ist: Verschiedene Parameter verwenden: p + r · u = q + s · v.
Jede Gerade bekommt ihren eigenen Parameter.
10Abstand zum Stützpunkt
So wird oft gerechnet: d(Q,g) = |QP| mit dem Stützpunkt P.
Richtig ist: Erst den Lotfußpunkt F bestimmen (QF · u = 0), dann d = |QF|.
Der Abstand steht senkrecht.
11Kollinearität zu früh bestätigt
So wird oft gerechnet: (2 | 4 | 5) und (1 | 2 | 3): Faktor 2 in Zeile 1 und 2 ⇒ „kollinear“.
Richtig ist: Alle drei Zeilen prüfen: 5 ≠ 2 · 3 ⇒ nicht kollinear.
Ein Faktor für alle Zeilen.
12Skalarprodukt als Vektor
So wird oft gerechnet: (1 | 2 | 3) · (2 | 0 | 1) = (2 | 0 | 3)
Richtig ist: (1 | 2 | 3) · (2 | 0 | 1) = 2 + 0 + 3 = 5 — eine Zahl.
Das Skalarprodukt ist ein Skalar.