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Übungen: Punkte und Vektoren

Koordinaten lesen, Verschiebungen rechnen, Lagen erkennen — zehn Übungen rund um Punkte und Pfeile im Raum.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Punkte in der x₁x₃-Ebene
AFB I

Welche Punkte liegen in der x₁x₃-Ebene?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
In der x₁x₃-Ebene ist die x₂-Koordinate null — auch Punkte auf der x₁- oder x₃-Achse gehören dazu.
Ansatz: Welche Koordinate fehlt in der Bezeichnung „x₁x₃-Ebene“?
Weiter: Genau diese Koordinate muss 0 sein, die anderen sind beliebig.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Punkte und Vektoren.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Ein Vektor ist eine Verschiebung, kein fester Pfeil: Alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile stellen denselben Vektor dar.
Ansatz: Prüfe jede Aussage an einem kleinen Zahlenbeispiel.
Weiter: Bei AB zuerst an „Spitze minus Fuß“ denken.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Punkt im Raum hat drei . Der Pfeil vom Ursprung zum Punkt P heißt von P. Der Vektor, der A nach B verschiebt, heißt ; man rechnet minus Fuß. Alle gleich langen und gleich gerichteten Pfeile stellen denselben dar.

„Skalar“ bleibt übrig — so heißt eine einfache Zahl, etwa ein Faktor vor einem Vektor.
Ansatz: Überlege, welche Begriffe einen Pfeil und welche eine Zahl bezeichnen.
Weiter: Der Ortsvektor beginnt immer im Ursprung.
A4
Wo liegt der Punkt?
AFB II

Ordne die Punkte ihrer Lage im Koordinatensystem zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1auf einer Achse
2in einer Koordinatenebene
3weder noch
Zwei Nullen: Achse. Genau eine Null: Koordinatenebene. Keine Null: irgendwo im Raum, in einem der acht Oktanten.
Ansatz: Zähle die Nullen in jedem Tripel.
Weiter: Eine Achse ist Schnitt zweier Koordinatenebenen — dort sind zwei Koordinaten null.
A5
Mittelpunkt
AFB II

Gegeben sind \(A(2|{-3}|1)\) und \(B(6|1|{-5})\). Gib die \(x_3\)-Koordinate des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\) an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(M=\big(\tfrac{2+6}{2}\,|\,\tfrac{-3+1}{2}\,|\,\tfrac{1-5}{2}\big)=(4|{-1}|{-2})\).
Ansatz: Der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der Koordinaten.
Weiter: Oder: \(\vec m=\vec a+\tfrac12\overrightarrow{AB}\).
A6
Vierte Ecke eines Parallelogramms
AFB IIMix

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, mit denen man die fehlende Ecke \(D\) des Parallelogramms \(ABCD\) bestimmt.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ecken A, B, C in der Reihenfolge des Umlaufs skizzieren
2Verbindungsvektor BC = c − b berechnen
3Ortsvektor OD = OA + BC bilden
4Koordinaten von D angeben
5Probe: AB = DC prüfen
Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lange, gleich gerichtete Pfeile: \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Ansatz: Welche Seite des Parallelogramms verläuft parallel zu AD?
Weiter: Zum Schluss immer eine Probe mit dem anderen Seitenpaar.
A7
Rechenkette: Verlängern
AFB II

Gegeben sind \(A(1|2|3)\) und \(B(4|{-2}|3)\). Der Punkt \(C\) entsteht, wenn man \(B\) noch einmal um \(\overrightarrow{AB}\) verschiebt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x₁-Koordinate von AB
  2. x₂-Koordinate von AB
  3. x₁-Koordinate von C
  4. x₂-Koordinate von C
\(\overrightarrow{AB}=(3|{-4}|0)\), \(\vec c=\vec b+\overrightarrow{AB}=(7|{-6}|3)\). \(B\) ist damit Mittelpunkt von \(\overline{AC}\).
Ansatz: Spitze minus Fuß, Zeile für Zeile.
Weiter: Für C addierst du AB zum Ortsvektor von B.
A8
Punkt und Beschreibung
AFB III

Ordne jedem Punkt die passende Beschreibung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
(2 | 2 | 2) = 2 · (1 | 1 | 1): Der Ortsvektor ist ein Vielfaches — der Punkt liegt auf der Geraden durch O und (1 | 1 | 1).
Ansatz: Beginne mit den Punkten mit zwei Nullen.
Weiter: Achte auf die Vorzeichen der Koordinaten, die nicht null sind.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB IIITrick

Sechs Notizen aus einem Heft — genau drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 zeigt den häufigsten Fehler: Beim Abziehen einer negativen Koordinate wird addiert.
Ansatz: Rechne jede Zeile selbst nach, bevor du klickst.
Weiter: Vorsicht bei negativen Koordinaten und bei der Richtung von Pfeilen.
A10
Was passiert mit AB?
AFB III

Die Punkte A und B werden verändert. Wie ändert sich der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\)? Schätze ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird zu −AB, 2 = bleibt AB, 3 = wird zu 2 · AB, 4 = wird zu 3 · AB. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird zu −AB4 = wird zu 3 · AB
A und B werden vertauscht
beide Punkte werden um (1 | 1 | 1) verschoben
alle Koordinaten von A und B werden verdoppelt
B wird um 2 · AB weiterverschoben
A und B werden am Ursprung gespiegelt
Verschieben lässt Vektoren unverändert. Spiegeln am Ursprung macht aus a und b die Gegenvektoren, also wird b − a zu a − b = −AB.
Ansatz: Schreibe die neuen Ortsvektoren als Term in a und b.
Weiter: Bilde dann b′ − a′ und vereinfache.