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Punkte und Vektoren

Vom Startplatz zum Fotopunkt: Mit Koordinaten und Verschiebungen lassen sich Flugbahnen und Bauteile im Raum genau beschreiben.

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Eine Vermessungsdrohne

AFB I–II

Eine Drohne startet im Punkt \(A(2|1|0)\) und fliegt geradlinig zum Punkt \(B(8|5|3)\) (1 LE = 10 m). Auf halber Strecke soll sie ein Foto aufnehmen. Danach fliegt sie von \(B\) aus mit derselben Verschiebung weiter.

  1. Geben Sie den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) an.
  2. Bestimmen Sie den Punkt \(M\), an dem das Foto aufgenommen wird.
  3. Berechnen Sie den Punkt \(C\), den die Drohne nach dem zweiten Flugabschnitt erreicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Spitze minus Fuß.
Hinweis zu Aufgabe b)
Mittelpunkt: \(\vec m=\vec a+\tfrac12\overrightarrow{AB}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Zum Ortsvektor von B noch einmal AB addieren.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(8-2\,|\,5-1\,|\,3-0)=(6|4|3)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec m=(2|1|0)+(3|2|1{,}5)=(5|3|1{,}5)\). Das Foto entsteht 15 m über dem Boden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\vec c=\vec b+\overrightarrow{AB}=(14|9|6)\); die Drohne ist dann 60 m hoch.

2

Ein Solarmodul als Parallelogramm

AFB II–III

Die Eckpunkte \(A(1|0|0)\), \(B(5|2|0)\) und \(C(4|5|3)\) gehören zu einem Solarmodul in Form des Parallelogramms \(ABCD\).

Solarmodul ABCD
x₁x₂x₃ABCD
Schrägbild des Parallelogramms ABCD
  1. Ermitteln Sie die Koordinaten des vierten Eckpunkts \(D\).
  2. Zeigen Sie, dass sich die Diagonalen des Moduls gegenseitig halbieren.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Zu drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, gibt es genau ein Parallelogramm.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Im Parallelogramm gilt \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Mittelpunkte beider Diagonalen vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welcher der drei Punkte liegt der gesuchten Ecke gegenüber?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{BC}=(-1|3|3)\), \(\vec d=\vec a+\overrightarrow{BC}=(0|3|3)\). Probe: \(\overrightarrow{AB}=(4|2|0)=\overrightarrow{DC}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(M_{AC}=\big(\tfrac52\,|\,\tfrac52\,|\,\tfrac32\big)\), \(M_{BD}=\big(\tfrac52\,|\,\tfrac52\,|\,\tfrac32\big)\). Beide Diagonalen haben denselben Mittelpunkt, also halbieren sie sich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Je nachdem, welcher Punkt der vierten Ecke gegenüberliegt, gibt es drei Parallelogramme: \(\vec a+\vec c-\vec b=(0|3|3)\), \(\vec a+\vec b-\vec c=(2|{-3}|{-3})\), \(\vec b+\vec c-\vec a=(8|7|3)\). Erst die Reihenfolge der Ecken („ABCD“) legt eines fest.