Schrägbilder mit Matrizen: Übungen – Mathe Klasse 13

A1

Aussagen zur Schrägbild-Matrix

AFB I

Welche Aussagen über die Schrägbild-Matrix \(M=\begin{pmatrix}-0{,}5&1&0\\-0{,}5&0&1\end{pmatrix}\) stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

M hat 2 Zeilen (Ebene) und 3 Spalten (Raum). Weil M · (2 | 1 | 1) = (0 | 0), haben P und P + t · (2 | 1 | 1) dasselbe Bild.

Ansatz: Spalte k ist das Bild des k-ten Einheitsvektors.

Weiter: Rechne (4 | 0 | 0) direkt mit der ersten Spalte aus.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Aussagen über Projektionen.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Projektionen sind lineare Abbildungen: Vielfache und Summen bleiben erhalten, nur Information in einer Richtung geht verloren.

Ansatz: Überlege, was mit einem Punkt direkt auf der Zeichenebene passiert.

Weiter: Linear heißt: Bild der Summe = Summe der Bilder.

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die einer Projektionsmatrix sind die Bilder der . Um den Bildpunkt zu berechnen, multipliziert man jede der Matrix skalar mit dem Vektor. Eine Abbildung vom Raum in eine Ebene heißt ; der berechnete Punkt ist das des Raumpunkts.

„Diagonale“ passt nicht — bei einer 2×3-Matrix gibt es keine Hauptdiagonale im üblichen Sinn.

Ansatz: Was steht in Spalte 1 — und warum?

Weiter: Matrix mal Vektor rechnet man zeilenweise.

A4

Welche Ansicht?

AFB II

Ordne die Beschreibungen der passenden Ansicht zu. Vorderansicht: Blick entlang der x₁-Achse.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Schrägbild

2Draufsicht

3Vorderansicht

Welche Koordinate verloren geht, zeigt die Nullspalte: Draufsicht → Spalte 3 ist null, Vorderansicht → Spalte 1 ist null.

Ansatz: Suche die Spalte, die nur Nullen enthält.

Weiter: Die Nullspalte gehört zur Blickrichtung.

A5

Andere Schrägbild-Matrix

AFB II

Ein Programm nutzt \(N=\begin{pmatrix}-0{,}6&1&0\\-0{,}4&0&1\end{pmatrix}\). Berechne die erste Koordinate des Bildes von \(P(5|2|3)\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(-0{,}6\cdot5+1\cdot2+0\cdot3=-3+2=-1\); vollständig \(P^{\prime}(-1|1)\).

Ansatz: Erste Zeile von N mal Vektor.

Weiter: Achte auf das Vorzeichen von −0,6 · 5.

A6

Schattenmatrix aufstellen

AFB IIMix

Bringe die Schritte zum Aufstellen der Schattenmatrix in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Lichtstrahl durch P aufstellen: x = p + t · v

2Bedingung für die x₁x₂-Ebene: p₃ + t · v₃ = 0

3t = −p₃ / v₃ bestimmen

4t in den Strahl einsetzen

5Koeffizienten von p₁, p₂, p₃ als Matrix ablesen

Die dritte Spalte ist das Bild von e₃: der Schatten eines senkrechten Stabs der Länge 1.

Ansatz: Wo trifft der Lichtstrahl den Boden?

Weiter: Die Matrix liest man erst am fertigen Term ab.

A7

Rechenkette: Schatten

AFB II

Sonnenlicht fällt in Richtung \(\vec v=(2|1|{-4})\). Gesucht ist der Schatten von \(P(1|3|8)\) in der \(x_1x_2\)-Ebene.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Parameter t des Auftreffpunkts
x₁-Koordinate des Schattens
x₂-Koordinate des Schattens
Eintrag −v₁/v₃ der Schattenmatrix

8 − 4t = 0 ⇒ t = 2; P′ = (1 + 4 | 3 + 2 | 0) = (5 | 5 | 0). −v₁/v₃ = −2/(−4) = 0,5.

Ansatz: Setze die dritte Koordinate des Strahls null.

Weiter: Dann t in die ersten beiden Zeilen einsetzen.

A8

Punkt und Bild

AFB III

Ordne jedem Raumpunkt sein Bild unter \(M=\begin{pmatrix}-0{,}5&1&0\\-0{,}5&0&1\end{pmatrix}\) zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Das Bild ist die Summe der Spalten, jeweils mit der Koordinate vervielfacht: (2 | 3 | 0) ↦ 2 · (−0,5 | −0,5) + 3 · (1 | 0) = (2 | −1).

Ansatz: Beginne mit den Punkten auf einer Achse.

Weiter: Für die übrigen: Bilder der Achsenschritte addieren.

A9

Fehlersuche

AFB IIITrick

Sechs Notizen zu Projektionen — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 1 ist der Klassiker: Wer Zeilen und Spalten verwechselt, bildet mit der falschen Matrix ab.

Ansatz: Rechne die Zahlenbeispiele selbst nach.

Weiter: Denke an die Richtung (2 | 1 | 1).

A10

Wie lang ist der Schatten?

AFB III

Ein senkrechter Stab der Länge 1 steht auf dem Boden. Licht fällt in Richtung \(\vec v\). Wie lang ist der Schatten im Vergleich zum Stab? Schätze ohne Rechnung.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = kein Schatten, 2 = kürzer als der Stab, 3 = genauso lang, 4 = doppelt so lang, 5 = länger als doppelt. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = kein Schatten5 = länger als doppelt

v = (0 | 0 | −1)

v = (1 | 0 | −2)

v = (1 | 0 | −1)

v = (2 | 0 | −1)

v = (3 | 0 | −1)

v = (1 | 1 | −2)

Der Schatten der Spitze ist (−v₁/v₃ | −v₂/v₃): Je flacher das Licht (|v₃| klein im Vergleich zu v₁, v₂), desto länger der Schatten.

Ansatz: Vergleiche den waagerechten Anteil von v mit dem senkrechten.

Weiter: Schattenlänge = waagerechte Länge von v geteilt durch |v₃|.

Übungen: Schrägbilder mit Matrizen

Übungsaufgaben