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Schrägbilder mit Matrizen

Vom Würfel auf dem Bildschirm bis zum Schatten eines Mastes: Matrizen rechnen Raumpunkte in die Ebene um.

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Ein Würfel auf dem Bildschirm

AFB I–II

Ein Zeichenprogramm stellt Körper mit der Schrägbild-Matrix \(M=\begin{pmatrix}-0{,}5&1&0\\-0{,}5&0&1\end{pmatrix}\) dar (Bildkoordinaten in cm). Gezeichnet werden soll ein Würfel mit der Kantenlänge 2, dessen Ecke \(O\) im Ursprung liegt und dessen Kanten auf den Achsen liegen.

  1. Berechnen Sie die Bildpunkte der Würfelecken \((2|2|2)\) und \((2|0|2)\).
  2. Geben Sie eine Matrix für die Vorderansicht (Blick entlang der \(x_1\)-Achse) an.
  3. Begründen Sie, dass parallele Würfelkanten auch im Schrägbild parallel erscheinen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Matrix mal Vektor, zeilenweise.
Hinweis zu Aufgabe b)
Was sieht man von vorn — und welche Koordinate verschwindet?
Hinweis zu Aufgabe c)
Kanten als Verbindungsvektoren schreiben und abbilden.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(M\cdot(2|2|2)=(-1+2\,|\,-1+2)=(1|1)\); \(M\cdot(2|0|2)=(-1\,|\,-1+2)=(-1|1)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(V=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\): \(x_2\) nach rechts, \(x_3\) nach oben, \(x_1\) geht verloren.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Parallele Kanten haben kollineare Verbindungsvektoren: \(\vec b-\vec a=r\,(\vec d-\vec c)\). Weil \(M\) linear ist, gilt \(M\vec b-M\vec a=M(\vec b-\vec a)=r\,(M\vec d-M\vec c)\) — die Bildkanten sind wieder kollinear, also parallel.

2

Der Schatten eines Fahnenmastes

AFB II–III

Ein 6 m hoher Fahnenmast steht senkrecht im Ursprung, seine Spitze ist \(P(0|0|6)\). Sonnenlicht fällt parallel in Richtung \(\vec v=(3|1|{-2})\). Der Boden ist die \(x_1x_2\)-Ebene (1 LE = 1 m).

  1. Stellen Sie die Matrix \(S\) auf, die jedem Raumpunkt seinen Schattenpunkt am Boden zuordnet.
  2. Ermitteln Sie den Schattenpunkt der Mastspitze.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Ein doppelt so hoher Mast an derselben Stelle wirft einen doppelt so langen Schatten.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Lichtstrahl \(\vec p+t\vec v\) mit \(x_3=0\) schneiden.
Hinweis zu Aufgabe b)
S mal (0 | 0 | 6).
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutzen Sie die Linearität von S.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(p_3-2t=0\Rightarrow t=\tfrac{p_3}{2}\); \(\vec p^{\prime}=(p_1+1{,}5p_3\,|\,p_2+0{,}5p_3\,|\,0)\), also \(S=\begin{pmatrix}1&0&1{,}5\\0&1&0{,}5\\0&0&0\end{pmatrix}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(S\cdot(0|0|6)=(9|3|0)\). Der Schatten reicht vom Fußpunkt bis \((9|3|0)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage stimmt: \(S\cdot(0|0|12)=2\cdot S\cdot(0|0|6)=(18|6|0)\). Der Schattenvektor verdoppelt sich, weil \(S(r\vec p)=r\,S\vec p\). Voraussetzung ist, dass der Mast im Ursprung steht und das Licht dieselbe Richtung hat.