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Schrägbilder mit Matrizen

Wie rechnet ein Zeichenprogramm einen Punkt im Raum auf flaches Papier um — mit nur sechs Zahlen?

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Zeichnen mit einer Matrix

Eine Projektion bildet jeden Raumpunkt auf einen Punkt der Zeichenebene ab. Sie ist schon festgelegt, wenn man weiß, wohin die drei Einheitsvektoren wandern.

  • Einheitsvektoren:\(\vec e_1=(1|0|0)\), \(\vec e_2=(0|1|0)\), \(\vec e_3=(0|0|1)\) — ein Schritt entlang jeder Achse.
  • Schrägbild:\(x_2\) nach rechts, \(x_3\) nach oben, \(x_1\) eine Kästchendiagonale schräg nach vorn: \(\vec e_1\mapsto\binom{-0{,}5}{-0{,}5}\), \(\vec e_2\mapsto\binom{1}{0}\), \(\vec e_3\mapsto\binom{0}{1}\) (in cm).
  • Zerlegen:\(\vec p=p_1\vec e_1+p_2\vec e_2+p_3\vec e_3\) — jeder Punkt ist ein Treppenweg entlang der Achsen.
  • Matrix:Die Bilder der Einheitsvektoren werden als Spalten \(\vec s_1,\vec s_2,\vec s_3\) nebeneinandergeschrieben.

Herleitung:

\(\vec p=p_1\vec e_1+p_2\vec e_2+p_3\vec e_3\)
abbilden
Start: der Punkt als Summe von drei Achsenschritten.
\(\vec p'=p_1\,\vec e_1{}'+p_2\,\vec e_2{}'+p_3\,\vec e_3{}'\)
Bilder einsetzen
Eine Parallelprojektion erhält Summen und Vielfache — jeder Schritt wird einzeln abgebildet.
\(\vec p'=p_1\binom{-0{,}5}{-0{,}5}+p_2\binom{1}{0}+p_3\binom{0}{1}\)
zeilenweise
Die drei Bildpfeile werden Fuß an Spitze aneinandergelegt.
\(\vec p'=\begin{pmatrix}-0{,}5&1&0\\-0{,}5&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}\)
Ergebnis
Matrix mal Vektor: jede Zeile der Matrix mit dem Vektor „skalar“ multiplizieren.
Merke

Projektion mit Matrix: \(\vec p'=M\cdot\vec p\) mit \(M=\big(\vec e_1{}'\ \ \vec e_2{}'\ \ \vec e_3{}'\big)\); im Schrägbild \(M=\begin{pmatrix}-0{,}5&1&0\\-0{,}5&0&1\end{pmatrix}\)

Wähle einen Raumpunkt. Seine drei Achsenschritte liegen als Bildpfeile rechts bereit — ziehe sie Fuß an Spitze vom Ursprung aus zusammen (oder wähle einen Pfeil an und drücke Enter). Schalte danach auf die Draufsicht um.

Pfeile umlegen

Halte fest: Der Bildpunkt ist die Summe der drei Matrixspalten, jeweils mit der passenden Koordinate vervielfacht — egal in welcher Reihenfolge man anlegt. \(E(2|1|1)\) landet im Schrägbild genau auf \(O\): Eine Projektion ist nicht umkehrbar.

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Schatten als Projektion

Auch der Schatten bei parallelem Licht ist eine Projektion — diesmal in eine Ebene des Raums.

  • Licht:parallele Strahlen in Richtung \(\vec v\) mit \(v_3\ne0\).
  • Strahl durch P:\(\vec x=\vec p+t\cdot\vec v\).
  • Schattenpunkt:Schnitt des Strahls mit der \(x_1x_2\)-Ebene, also \(x_3=0\).
  • Beispiel:\(\vec v=(1|2|{-2})\), \(P(1|1|4)\): \(t=2\), Schatten \(P'(3|5|0)\).
  • GTR:Casio fx-CG50, Run-Matrix: Matrizen direkt eintippen, eckige Klammern mit SHIFT + und SHIFT −: [[−0.5,1,0][−0.5,0,1]]×[[2][3][1]] EXE.
  • CAS:TI-Nspire CX CAS: Zeilen mit Semikolon trennen — [−0.5,1,0;−0.5,0,1]·[2;3;1] liefert \(\binom{2}{0}\).

Herleitung:

\(p_3+t\cdot v_3=0\)
\(:v_3\)
Start: Die dritte Koordinate des Strahlpunkts muss null werden.
\(t=-\dfrac{p_3}{v_3}\)
in \(\vec p+t\vec v\)
Der Parameter hängt nur von \(p_3\) ab.
\(\vec p'=\begin{pmatrix}p_1-\frac{v_1}{v_3}\,p_3\\[2pt]p_2-\frac{v_2}{v_3}\,p_3\\[2pt]0\end{pmatrix}\)
als Matrix
Jede Zeile ist eine Kombination aus \(p_1,p_2,p_3\) — also Matrix mal Vektor.
\(\vec p'=\begin{pmatrix}1&0&-\frac{v_1}{v_3}\\[2pt]0&1&-\frac{v_2}{v_3}\\[2pt]0&0&0\end{pmatrix}\cdot\vec p\)
Ergebnis
Die dritte Spalte ist das Bild von \(\vec e_3\): der Schatten eines senkrechten Stabs der Länge 1.
Merke

Schatten in der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\vec p'=\begin{pmatrix}1&0&-v_1/v_3\\0&1&-v_2/v_3\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot\vec p\)

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Allgemeine Hinweise

Spalten, nicht Zeilen

Das Bild von \(\vec e_1\) steht in der ersten Spalte. Wer die Bilder als Zeilen einträgt, rechnet ein ganz anderes Bild aus.

Probe mit Einheitspunkten

\(M\cdot(1|0|0)\) muss genau die erste Spalte liefern, \(M\cdot(0|0|0)\) den Ursprung — so lässt sich jede Matrix schnell prüfen.

Nicht umkehrbar

Verschiedene Raumpunkte können dasselbe Bild haben — im Schrägbild alle Punkte einer Geraden mit Richtung \((2|1|1)\). Aus dem Bild allein lässt sich der Raumpunkt nicht zurückgewinnen.

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