Probeklausur

Erwartungshorizont: a) \(\overrightarrow{AB}=(2|{-3}|6)\), \(\sqrt{4+9+36}=7\) (2 P) b) \(u=-1+3=2\), \(v=-1+5=4\) (2 P) c) \((-4|6|{-12})=-2\cdot\overrightarrow{AB}\) (1 P).

Erwartungshorizont: a) \(0+8+6=14\) (1 P) b) \(\cos\alpha=\tfrac{14}{3\cdot5}\approx0{,}933\Rightarrow\alpha\approx21{,}0^\circ\) (2 P) c) \(t+2-4=0\Rightarrow t=2\) (2 P).

Erwartungshorizont: a) \(n_1+n_2=0\), \(n_2+2=0\): \(\vec n=(2|{-2}|1)\) (2 P) b) \(d=4-0+1=5\), \(E\colon2x_1-2x_2+x_3=5\) (2 P) c) \(2x_1=5\Rightarrow S_1(2{,}5|0|0)\) (1 P).

Erwartungshorizont: a) Einsetzen: \((1+t)+2-(4+t)=-1\), also \(-1=1\) — Widerspruch, echt parallel (2 P) b) Stützpunkt in Hesse-Form: \(\dfrac{|1+2-4-1|}{\sqrt3}=\dfrac2{\sqrt3}\approx1{,}15\) (3 P).

Erwartungshorizont: a) \(2(1+t)+2t+2\cdot2t=2+8t=10\Rightarrow t=1\), \(S(2|2|2)\) (2 P) b) \(\sin\varphi=\dfrac{|2+2+4|}{3\cdot3}=\dfrac89\Rightarrow\varphi\approx62{,}7^\circ\) (4 P; Kosinus statt Sinus höchstens 1 P).

Erwartungshorizont: a) \(E-F\): \(3x_2=3\Rightarrow x_2=1\); dann \(x_1+x_3=2\), \(s\colon\vec x=(0|1|2)+t\,(1|0|{-1})\) (2 P) b) \(\vec n_1\cdot\vec n_2=1-2+1=0\Rightarrow\varphi=90^\circ\) (2 P) c) \((2|1|0)\) mit \(t=2\), \((1|1|1)\) mit \(t=1\) (2 P).

Erwartungshorizont: a) \(\overrightarrow{QX_t}=(t\,|\,2t-4\,|\,2t-5)\), \(\overrightarrow{QX_t}\cdot\vec u=t+4t-8+4t-10=9t-18=0\Rightarrow t=2\), \(F(4|5|4)\) (3 P) b) \(\overrightarrow{QF}=(2|0|{-1})\), \(|\overrightarrow{QF}|=\sqrt5\approx2{,}236\) LE \(\approx22{,}4\) m (3 P) c) \(Q^{\prime}=2\vec f-\vec q=(6|5|3)\) (2 P).

Erwartungshorizont: a) Richtungen nicht kollinear; \(r=1\), \(0=3+s\Rightarrow s=-3\), dritte Zeile \(1=-3\) — Widerspruch: windschief (2 P) b) \(\vec n\perp(1|0|1),(0|1|1)\): \(\vec n=(1|1|{-1})\); \(d=\dfrac{|(1|3|0)\cdot(1|1|{-1})|}{\sqrt3}=\dfrac4{\sqrt3}\approx2{,}31\) (4 P).

Erwartungshorizont: a) Normalen orthogonal: \(a-2+2=0\Rightarrow a=0\) (2 P) b) \(\vec u\cdot\vec n_a=a+2-4=0\Rightarrow a=2\); dann ist die Gerade parallel zu \(E_2\) oder liegt in \(E_2\) (2 P).