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Übungen: Skalarprodukt, Orthogonalität

Eine Zahl aus zwei Vektoren: zehn Übungen zu Skalarprodukt, Länge, Winkel und rechten Winkeln.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Orthogonale Paare
AFB I

Welche Vektorpaare sind orthogonal?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Orthogonal heißt Skalarprodukt 0: 2 − 6 + 4 = 0 oder 4 + 0 − 4 = 0. Bei (2 | 2 | 1) und (1 | −2 | 3) ergibt sich 1.
Ansatz: Multipliziere zeilenweise und addiere.
Weiter: Nur Ergebnis 0 bedeutet senkrecht.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zum Skalarprodukt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät die Winkelart: positiv spitz, null rechtwinklig, negativ stumpf.
Ansatz: Rechne mit kleinen Beispielen.
Weiter: Beim Betrag erst quadrieren, dann addieren, dann Wurzel.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Das zweier Vektoren ist eine Zahl. Die Länge eines Vektors heißt und ist die Wurzel aus a · a. Ist a · b = 0, heißen die Vektoren . Den Winkel liefert der : a · b geteilt durch das Produkt der Längen. Geometrisch ist a · b die Länge von a mal dem von b auf a.

Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor — im KC Niedersachsen gehört es nicht zu diesem Lernbereich.
Ansatz: Welche Begriffe bezeichnen Zahlen, welche Beziehungen?
Weiter: Der Schatten entsteht durch Projektion von b auf die Richtung von a.
A4
Winkelart
AFB II

Ordne die Vektorpaare nach dem Winkel zwischen ihnen.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1spitzer Winkel
2rechter Winkel
3stumpfer Winkel
Man braucht keinen Winkel auszurechnen: Das Vorzeichen des Skalarprodukts genügt.
Ansatz: Berechne nur das Skalarprodukt.
Weiter: Positiv, null oder negativ?
A5
Winkel mit dem Rechner
AFB II

Berechne den Winkel zwischen \(\vec a=(2|{-1}|2)\) und \(\vec b=(2|2|1)\) auf eine Nachkommastelle.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\vec a\cdot\vec b=4-2+2=4\), \(|\vec a|=|\vec b|=3\): \(\cos\alpha=\tfrac49\Rightarrow\alpha\approx63{,}6^\circ\). fx-CG50: Angle([[2,−1,2]],[[2,2,1]]) im Gradmaß.
Ansatz: cos α = a · b / (|a| · |b|).
Weiter: Rechner auf Gradmaß (Deg) stellen.
A6
Winkel berechnen in Schritten
AFB IIMix

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Die beiden Vektoren im Scheitel des Winkels bilden
2Skalarprodukt berechnen
3Beide Beträge berechnen
4cos α = a · b / (|a| · |b|) auswerten
5α mit cos⁻¹ bestimmen und runden
Beim Innenwinkel eines Dreiecks müssen beide Vektoren im Scheitel beginnen — sonst erhält man den Nebenwinkel.
Ansatz: Womit beginnt man bei einem Dreieck?
Weiter: Die Umkehrfunktion kommt zum Schluss.
A7
Rechenkette: Winkel
AFB II

Gegeben sind \(\vec a=(2|1|{-2})\) und \(\vec b=(3|4|0)\).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. a · b
  2. |a|
  3. |b|
  4. Winkel α in Grad (1 Nachkommastelle) °
cos α = 10/15 ≈ 0,667 ⇒ α ≈ 48,2°.
Ansatz: Zeilenweise multiplizieren und addieren.
Weiter: Beträge: Wurzel aus der Summe der Quadrate.
A8
Senkrechte Partner
AFB III

Ordne jedem Vektor links den Vektor rechts zu, der auf ihm senkrecht steht.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zu jedem Vektor gibt es unendlich viele senkrechte — hier passt aber jeweils genau einer.
Ansatz: Bilde Skalarprodukte, bis 0 herauskommt.
Weiter: Tipp: Eine Null im rechten Vektor vereinfacht die Rechnung.
A9
Fehlersuche
AFB IIITrick

Sechs Notizen zum Skalarprodukt — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2: (−2)² = +4. Wer das Minus vor die Klammer zieht, rechnet falsch.
Ansatz: Rechne jede Zeile nach.
Weiter: Bei Beträgen jede Koordinate quadrieren.
A10
Was passiert mit a · b?
AFB III

Es ist \(\vec a\cdot\vec b>0\). Wie ändert sich das Skalarprodukt? Schätze ohne Rechnung.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird negativ, 2 = wird 0, 3 = bleibt gleich, 4 = verdoppelt sich, 5 = vervierfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird negativ5 = vervierfacht sich
b wird durch −b ersetzt
a wird verdoppelt
a und b werden verdoppelt
zu b wird ein Vektor addiert, der senkrecht auf a steht
b wird durch einen Vektor ersetzt, der senkrecht auf a steht
a und b werden vertauscht
Ein zu a senkrechter Anteil von b wirft keinen Schatten auf a — er ändert a · b nicht.
Ansatz: Nutze die Rechenregeln: (r · a) · b = r · (a · b).
Weiter: Denke an den Schatten von b auf a.