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Skalarprodukt, Orthogonalität

Zeltplanen, Quadrate und rechte Winkel: Mit dem Skalarprodukt werden Längen und Winkel im Raum berechenbar.

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Eine dreieckige Zeltplane

AFB I–II

Eine Zeltplane ist zwischen den Punkten \(A(4|0|0)\), \(B(0|3|0)\) und der Mastspitze \(S(0|0|5)\) gespannt (1 LE = 1 m). Der Mast steht im Ursprung.

Zeltplane ABS
x₁x₂x₃ABSO
Dreieckige Plane mit senkrechtem Mast OS
  1. Berechnen Sie die Längen der Kanten \(\overline{AB}\) und \(\overline{AS}\).
  2. Bestimmen Sie den Innenwinkel der Plane bei \(A\).
  3. Zeigen Sie, dass der Mast \(\overline{OS}\) senkrecht auf der Bodenkante \(\overline{AB}\) steht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Betrag des Verbindungsvektors.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vektoren im Scheitel A.
Hinweis zu Aufgabe c)
Skalarprodukt der Richtungen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(-4|3|0)\), \(|\overrightarrow{AB}|=5\) m; \(\overrightarrow{AS}=(-4|0|5)\), \(|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{41}\approx6{,}40\) m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AS}=16\); \(\cos\alpha=\tfrac{16}{5\sqrt{41}}\approx0{,}4998\Rightarrow\alpha\approx60{,}0^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{AB}=(0|0|5)\cdot(-4|3|0)=0\). Die Richtungen sind orthogonal — auch wenn sich Mast und Kante nicht schneiden.

2

Ein Quadrat im Raum

AFB II–III

Gegeben sind \(A(1|1|0)\), \(B(5|3|0)\) und \(D(-1|5|0)\); \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

  1. Weisen Sie nach, dass \(ABCD\) ein Quadrat ist, und geben Sie \(C\) an.
  2. Ermitteln Sie den Winkel zwischen der Diagonale \(\overline{AC}\) und der Seite \(\overline{AB}\).
  3. Beweisen Sie mit dem Skalarprodukt: In jedem Quadrat stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rechter Winkel und gleich lange Seiten.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\) mit \(|\vec a|=|\vec b|\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(4|2|0)\), \(\overrightarrow{AD}=(-2|4|0)\): \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=-8+8=0\) und \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{20}\). Also Quadrat; \(C=B+\overrightarrow{AD}=(3|7|0)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AC}=(2|6|0)\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=20\), \(\cos\alpha=\tfrac{20}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{40}}=\tfrac{1}{\sqrt2}\Rightarrow\alpha=45^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Diagonalen \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{DB}=\vec a-\vec b\). \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2=0\), weil alle Seiten gleich lang sind. Der Beweis braucht den rechten Winkel gar nicht — er gilt für jede Raute.