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Skalarprodukt, Orthogonalität

Aus zwei Vektoren wird eine einzige Zahl — und die verrät Längen, Winkel und sogar rechte Winkel, die im Schrägbild schief aussehen.

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Skalarprodukt und Länge

Das Skalarprodukt verrechnet zwei Vektoren zu einer Zahl — aus ihr folgen Längen und Winkel.

  • Definition:\(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) — eine Zahl, kein Vektor.
  • Beispiel:\((2|1|3)\cdot(1|{-4}|2)=2-4+6=4\).
  • Betrag:\(|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) — zweimal Pythagoras im Quader.
  • Abstand:\(d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|\), z. B. \(A(1|2|0)\), \(B(3|5|6)\): \(\sqrt{4+9+36}=7\).
  • Geometrisch:\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\) — Länge von \(\vec a\) mal Schatten von \(\vec b\) auf \(\vec a\).
  • Winkel:\(\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\) mit \(0^\circ\le\alpha\le180^\circ\); negatives Skalarprodukt heißt stumpfer Winkel.
  • GTR:Casio fx-CG50, Run-Matrix: OPTN → MAT/VCT (F2) → ▷ (F6) → ▷ (F6): DotP( (F2), Angle( (F4); Norm( (F1) eine Seite weiter (▷).
  • CAS:TI-Nspire CX CAS: dotP([2,1,3],[1,−4,2]) → 4, norm([2,3,6]) → 7.
Merke

Skalarprodukt: \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\),  \(|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}\)

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Orthogonalität prüfen

Ob zwei Richtungen senkrecht sind, entscheidet eine einzige Zahl.

  • Senkrecht:Zwei Vektoren heißen orthogonal \((\vec a\perp\vec b)\), wenn sie einen Winkel von \(90^\circ\) einschließen.
  • Kosinus:\(\cos 90^\circ=0\) — also verschwindet das Skalarprodukt.
  • Vorsicht:Das Kriterium gilt nur für \(\vec a\ne\vec 0\) und \(\vec b\ne\vec 0\).
  • Rechter Winkel:Im Dreieck \(ABC\) liegt bei \(B\) ein rechter Winkel, wenn \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\).
  • Parameter:\(\begin{pmatrix}2\\t\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}=6+4t-2=0\;\Rightarrow\;t=-1\)
  • Senkrechter Vektor:Eine Koordinate null setzen, die anderen tauschen und ein Vorzeichen ändern: zu \((2|3|5)\) passt \((3|{-2}|0)\), denn \(6-6+0=0\).
  • Geraden:Orthogonal, wenn die Richtungsvektoren orthogonal sind — auch wenn sich die Geraden nicht schneiden.

Herleitung:

\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\)
\(=0\) setzen
Start: geometrische Form des Skalarprodukts.
\(|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha=0\)
\(:(|\vec a|\cdot|\vec b|)\)
Erlaubt, weil keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist.
\(\cos\alpha=0\)
\(\cos^{-1}\)
Zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) hat der Kosinus genau eine Nullstelle.
\(\alpha=90^\circ\iff\vec a\cdot\vec b=0\)
Ergebnis
Jeder Schritt lässt sich umkehren.
Merke

Orthogonalität: \(\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0\)  (für \(\vec a,\vec b\ne\vec 0\))

Wähle ein Kantenpaar der Pyramide, tippe zuerst, ob die beiden Richtungen senkrecht sind — und lass dann das Skalarprodukt entscheiden.

Senkrecht oder nicht?

Halte fest: Im Schrägbild sieht man einem rechten Winkel nichts an — erst \(\vec a\cdot\vec b=0\) liefert die Gewissheit, sogar bei Kanten, die sich gar nicht treffen.

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Allgemeine Hinweise

Das Schrägbild täuscht

Rechte Winkel erscheinen im Schrägbild schief, schiefe Winkel manchmal rechtwinklig. Nur die Rechnung zählt.

Richtung egal

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) — für die Prüfung auf null spielt die Pfeilrichtung keine Rolle.

Nicht mit kollinear verwechseln

Kollinear heißt \(\vec a=r\cdot\vec b\) (gleiche Richtung), orthogonal heißt \(\vec a\cdot\vec b=0\).

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