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Übungen: Lagebeziehungen von Geraden

Identisch, parallel, schneidend oder windschief? Zehn Übungen, in denen du Geradenpaare im Raum sortierst und schneidest.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Ein Geradenpaar
AFB I

Gegeben sind \(g\colon\vec x=(1|0|0)+t\,(1|2|1)\) und \(h\colon\vec x=(0|1|2)+s\,(2|4|2)\). Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
(2 | 4 | 2) = 2 · (1 | 2 | 1). Punktprobe mit (0 | 1 | 2): aus x₁ folgt t = −1, dann wäre x₂ = −2 ≠ 1 — also echt parallel. Parallele Geraden liegen immer in einer Ebene.
Ansatz: Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren.
Weiter: Dann Punktprobe mit dem Stützpunkt von h.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen über Geradenpaare.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Windschiefe Geraden gibt es nur im Raum — sie liegen in keiner gemeinsamen Ebene.
Ansatz: Denke an Kanten eines Würfels.
Weiter: Zwei Parameter, weil jede Gerade ihre eigene „Uhr“ hat.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Sind die Richtungsvektoren kollinear, sind die Geraden oder — die Punktprobe entscheidet. Sonst setzt man gleich; hat das System eine Lösung, gibt es einen . Bei einem Widerspruch sind die Geraden . Beim Gleichsetzen bekommt jede Gerade ihren eigenen .

Eine Gerade hat im Raum keinen eindeutigen Normalenvektor.
Ansatz: Erst die Richtungen, dann die Punkte.
Weiter: Widerspruch im Gleichungssystem heißt: kein gemeinsamer Punkt.
A4
Vier Lagen
AFB II

Ordne die Geradenpaare ihrer Lage zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1identisch
2echt parallel
3schneidend
4windschief
Ein gemeinsamer Stützpunkt bei nicht kollinearen Richtungen bedeutet sofort „schneidend“ — dieser Punkt ist der Schnittpunkt.
Ansatz: Richtungen kollinear?
Weiter: Wenn nein: Gibt es einen gemeinsamen Punkt?
A5
Schnittpunkt berechnen
AFB II

Gegeben sind \(g\colon\vec x=(1|2|0)+t\,(1|{-1}|2)\) und \(h\colon\vec x=(4|0|7)+s\,(0|1|1)\). Gib die \(x_2\)-Koordinate des Schnittpunkts an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(1+t=4\Rightarrow t=3\); \(2-3=s\Rightarrow s=-1\); Probe \(x_3\): \(6=7-1\) ✓. Schnittpunkt \((4|{-1}|6)\).
Ansatz: Beginne mit der Zeile, in der nur ein Parameter vorkommt.
Weiter: Die dritte Zeile ist die Probe.
A6
Das Prüfschema
AFB IIMix

Bringe die Schritte des Prüfschemas in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen
2Falls kollinear: Punktprobe mit dem Stützpunkt von h
3Falls nicht kollinear: Geradengleichungen mit t und s gleichsetzen
4Zwei Zeilen nach t und s lösen
5Dritte Zeile prüfen: schneidend oder windschief
6Bei Schnitt: t einsetzen und S angeben
Das Schema spart Arbeit: Bei kollinearen Richtungen muss man kein Gleichungssystem lösen.
Ansatz: Was prüft man zuerst?
Weiter: Der Schnittpunkt kommt ganz zum Schluss.
A7
Rechenkette: Schnitt
AFB II

Gegeben sind \(g\colon\vec x=(2|0|1)+t\,(1|1|0)\) und \(h\colon\vec x=(0|2|3)+s\,(1|{-1}|{-1})\).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Parameter s aus der x₃-Zeile
  2. Parameter t aus der x₁-Zeile
  3. x₁-Koordinate des Schnittpunkts
  4. Schnittwinkel in Grad °
x₃: 1 = 3 − s ⇒ s = 2; x₁: 2 + t = s ⇒ t = 0; Probe x₂: 0 = 2 − 2 ✓. S(2 | 0 | 1). (1 | 1 | 0) · (1 | −1 | −1) = 0: Die Geraden schneiden sich rechtwinklig.
Ansatz: Die x₃-Zeile enthält nur s.
Weiter: Für den Winkel: Skalarprodukt der Richtungsvektoren.
A8
Ergebnis und Lage
AFB III

Ordne jedem Rechenergebnis die Lage der Geraden zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Senkrecht schneidend ist ein Sonderfall von schneidend: Zusätzlich ist das Skalarprodukt der Richtungen null.
Ansatz: Zwei Merkmale: Richtungen und gemeinsame Punkte.
Weiter: Der Sonderfall braucht das Skalarprodukt.
A9
Fehlersuche
AFB IIITrick

Sechs Notizen zu Geradenpaaren — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Unlösbar allein sagt nichts über Parallelität — man muss wissen, ob die Richtungen kollinear sind.
Ansatz: Prüfe jede Rechnung mit allen drei Zeilen.
Weiter: Parallel setzt kollineare Richtungen voraus.
A10
Kanten eines Würfels
AFB III

Wie liegen die Geraden durch folgende Kanten bzw. Diagonalen eines Würfels zueinander?

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = identisch, 2 = echt parallel, 3 = schneidend, 4 = windschief. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = identisch4 = windschief
zwei Kanten, die sich in einer Ecke treffen
gegenüberliegende Kanten einer Seitenfläche
eine Bodenkante und eine senkrechte Kante, die sie nicht berührt
die beiden Diagonalen derselben Seitenfläche
eine Kante und dieselbe Kante mit anderem Stützpunkt
eine Diagonale der Bodenfläche und die parallele Diagonale der Deckfläche
Windschief sind Kanten, die in verschiedene Richtungen zeigen und sich nicht berühren — zum Beispiel eine Bodenkante und eine senkrechte Kante an der gegenüberliegenden Seite.
Ansatz: Stell dir einen Würfel oder eine Schachtel vor.
Weiter: Nicht parallel und kein gemeinsamer Punkt: windschief.