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Lagebeziehungen von Geraden

Kreuzende Flugbahnen und eine Geradenschar: Ob sich zwei Geraden schneiden, entscheidet ein kleines Gleichungssystem.

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Zwei Flugbahnen

AFB I–II

Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig: \(F_1\) entlang \(g\colon\vec x=(0|0|2)+t\,(2|1|0)\), \(F_2\) entlang \(h\colon\vec x=(6|{-2}|0)+s\,(0|5|2)\). Dabei geben \(t\) und \(s\) die Flugzeit in Minuten ab 12:00 Uhr an (1 LE = 1 km).

  1. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Flugbahnen.
  2. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Bahnen.
  3. Beurteilen Sie, ob die Flugzeuge kollidieren können.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Richtungen vergleichen, dann gleichsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
t = 3 in g einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wann ist welches Flugzeug im Schnittpunkt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\((2|1|0)\) und \((0|5|2)\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(2t=6\Rightarrow t=3\); \(t=-2+5s\Rightarrow s=1\); Probe \(x_3\): \(2=2s=2\) ✓. Die Bahnen schneiden sich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(S=(0|0|2)+3\cdot(2|1|0)=(6|3|2)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(F_2\) passiert S nach \(s=1\) min (12:01 Uhr), \(F_1\) erst nach \(t=3\) min (12:03 Uhr). Die Bahnen kreuzen sich, die Flugzeuge sind aber zu verschiedenen Zeiten dort — keine Kollision. Ein Schnittpunkt der Bahnen allein bedeutet noch keine Gefahr.

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Eine Geradenschar

AFB II–III

Gegeben sind \(g\colon\vec x=(1|0|0)+t\,(1|1|0)\) und für \(a\in\mathbb R\) die Geraden \(h_a\colon\vec x=(0|a|2)+s\,(1|1|a)\).

  1. Zeigen Sie, dass \(g\) und \(h_0\) echt parallel sind.
  2. Ermitteln Sie den Wert von \(a\), für den sich \(g\) und \(h_a\) schneiden, und den Schnittpunkt.
  3. Begründen Sie, dass \(g\) und \(h_a\) für alle übrigen Werte von \(a\) windschief sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Richtungsvektor von h₀ und Punktprobe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gleichsetzen; die dritte Zeile liefert \(as=-2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Kollinearität der Richtungen und Lösbarkeit des Systems für \(a\ne0\), \(a\ne-1\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h_0\colon\vec x=(0|0|2)+s\,(1|1|0)\) hat denselben Richtungsvektor wie g. Alle Punkte von g haben \(x_3=0\), der Stützpunkt von \(h_0\) hat \(x_3=2\) — er liegt nicht auf g. Also echt parallel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(1+t=s\), \(t=a+s\), \(0=2+as\). Aus den ersten beiden: \(1+a+s=s\Rightarrow a=-1\). Dann \(s=2\), \(t=1\): Schnittpunkt \((2|1|0)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(a\ne0\) ist \((1|1|a)\) nicht kollinear zu \((1|1|0)\). Die ersten beiden Zeilen verlangen \(a=-1\); für \(a\ne-1\) ist das System also widersprüchlich. Nicht parallel und kein Schnittpunkt: windschief.