MINT lernen

Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Stangen eines Klettergerüsts sehen auf dem Foto aus, als würden sie sich kreuzen — berühren sie sich wirklich?

1

Vier mögliche Lagen

Zwei Geraden im Raum können auf genau vier Arten zueinander liegen.

  • Identisch:Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade — unendlich viele gemeinsame Punkte.
  • Echt parallel:Gleiche Richtung, aber kein gemeinsamer Punkt.
  • Schneidend:Verschiedene Richtungen, genau ein gemeinsamer Punkt \(S\).
  • Windschief:Verschiedene Richtungen und kein gemeinsamer Punkt — das gibt es nur im Raum.
  • Gerade:\(g\colon\ \vec x=\vec p+r\cdot\vec u\) mit Stützvektor \(\vec p\) und Richtungsvektor \(\vec u\).
2

Das Prüfschema

Zwei Fragen genügen: Wie liegen die Richtungen — und gibt es einen gemeinsamen Punkt?

  • 1. Richtung:Sind \(\vec u\) und \(\vec v\) kollinear, also \(\vec v=k\cdot\vec u\)? Quotienten der Koordinaten vergleichen.
  • 2a. Kollinear:Punktprobe: Liegt der Stützpunkt \(Q\) von \(h\) auf \(g\)? Ja → identisch, nein → echt parallel.
  • 2b. Nicht kollinear:Gleichsetzen \(\vec p+r\vec u=\vec q+s\vec v\): drei Gleichungen für \(r\) und \(s\).
  • LGS lösbar:Zwei Gleichungen lösen, die dritte prüfen. Stimmt sie → schneidend, Widerspruch → windschief.
  • GTR/CAS:Gauß-Algorithmus (4.5.1) oder fx-CG50: EQUA → SIMUL (F1) → 2 Unbekannte (F1) für zwei Gleichungen; TI-Nspire: solve(…and…and…,{r,s}) meldet false, wenn es keine Lösung gibt.
Merke

Lage zweier Geraden: kollinear + gemeinsamer Punkt → identisch · kollinear ohne gemeinsamen Punkt → echt parallel · nicht kollinear + gemeinsamer Punkt → schneidend · sonst → windschief

Wähle ein Geradenpaar — es erscheint im Schrägbild. Sortiere es dann in eine der vier Gruppen. Mit „Prüfen“ siehst du, welche Zuordnungen stimmen, und das Prüfschema zum gewählten Paar.

Acht Paare, vier Lagen

Halte fest: Zuerst die Richtungsvektoren vergleichen — erst danach entscheidet ein gemeinsamer Punkt zwischen identisch und parallel bzw. schneidend und windschief.

3

Allgemeine Hinweise

Zwei verschiedene Parameter

Beim Gleichsetzen \(r\) und \(s\) verwenden. Mit demselben Buchstaben wird nur geprüft, ob zwei Punkte „gleichzeitig“ zusammentreffen.

Dritte Gleichung prüfen

Zwei Gleichungen sind fast immer lösbar. Erst die dritte entscheidet zwischen schneidend und windschief.

Schrägbild täuscht

Im Schrägbild scheinen sich windschiefe Geraden oft zu kreuzen. Nur die Rechnung entscheidet.

Videos