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Übungen: Schnittprobleme und Winkel

Einsetzen, schneiden, Winkel messen — zehn Übungen zu Geraden und Ebenen, die sich treffen oder aneinander vorbeilaufen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Parallel zur Ebene
AFB I

Die Ebene ist \(E\colon x_1+x_2+x_3=6\). Welche Richtungsvektoren gehören zu Geraden, die parallel zu \(E\) sind oder in \(E\) liegen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Genau dann, wenn u · n = 0 mit n = (1 | 1 | 1): Die Summe der Koordinaten muss null sein.
Ansatz: Lies den Normalenvektor aus der Gleichung ab.
Weiter: u · n = 0 prüfen.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen über Schnitte und Winkel.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Der Betrag im Zähler der Winkelformeln sorgt dafür, dass man immer den spitzen Winkel erhält.
Ansatz: Denke an zwei Buchseiten oder an einen Tisch mit einem Stift darauf.
Weiter: Sinus bei Gerade–Ebene, sonst Kosinus.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Um Gerade und Ebene zu schneiden, man den Geradenpunkt in die Koordinatengleichung. Eine Lösung für t liefert den . Ein bedeutet echte Parallelität. Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer . Für den Winkel zwischen Gerade und Ebene verwendet man den .

Den Tangens braucht man hier nicht — Winkel zwischen Vektoren liefert das Skalarprodukt über Kosinus bzw. Sinus.
Ansatz: Was tut man mit der Parameterform der Geraden?
Weiter: Welche Winkelfunktion gehört zum Komplementwinkel?
A4
Lage zur Ebene
AFB II

Gegeben ist \(E\colon 2x_1-x_2+x_3=4\). Ordne die Geraden ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1schneidet E
2echt parallel
3liegt in E
Erst u · n: Ist es null, entscheidet die Punktprobe mit dem Stützpunkt zwischen „parallel“ und „liegt in E“.
Ansatz: Berechne u · n mit n = (2 | −1 | 1).
Weiter: Bei u · n = 0: Stützpunkt einsetzen.
A5
Schnittpunkt Gerade–Ebene
AFB II

Bestimme die \(x_1\)-Koordinate des Schnittpunkts von \(g\colon\vec x=(1|1|1)+t\,(2|1|1)\) mit \(E\colon x_1+2x_2-2x_3=3\).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\((1+2t)+2(1+t)-2(1+t)=1+2t=3\Rightarrow t=1\), \(S(3|2|2)\).
Ansatz: Setze die Zeilen der Geraden für x₁, x₂, x₃ ein.
Weiter: Vereinfache — die t-Terme heben sich teilweise auf.
A6
Schnittgerade in Schritten
AFB IIMix

Bringe die Schritte zur Bestimmung der Schnittgeraden zweier Ebenen in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Normalenvektoren auf Kollinearität prüfen
2Beide Koordinatengleichungen als Gleichungssystem notieren
3Eine Variable eliminieren
4Eine verbleibende Variable gleich t setzen
5Die übrigen Variablen durch t ausdrücken
6Als x = p + t · u schreiben
Zwei Gleichungen, drei Unbekannte: Eine Variable bleibt frei — sie wird zum Parameter der Schnittgeraden.
Ansatz: Zuerst klären, ob es überhaupt eine Schnittgerade gibt.
Weiter: Der Parameter kommt aus der freien Variable.
A7
Rechenkette: Winkel zweier Ebenen
AFB II

Gegeben sind \(E\colon 2x_1+x_2+2x_3=6\) und \(F\colon x_1+2x_2+2x_3=1\).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. n₁ · n₂
  2. |n₁|
  3. |n₂|
  4. Schnittwinkel φ in Grad (1 Nachkommastelle) °
cos φ = 8 / 9 ≈ 0,889 ⇒ φ ≈ 27,3°.
Ansatz: Normalenvektoren aus den Koeffizienten ablesen.
Weiter: cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|).
A8
Situation und Formel
AFB III

Ordne jeder Situation die passende Bedingung oder Formel zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Nur bei Gerade und Ebene mischt man Richtungs- und Normalenvektor — deshalb dort der Sinus.
Ansatz: Welche Vektoren gehören zu welchem Objekt?
Weiter: Parallel und senkrecht erkennt man schon am Skalarprodukt null.
A9
Fehlersuche
AFB IIITrick

Sechs Notizen zu Schnitten und Winkeln — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 6: Eine Gleichung mit Lösung t = 0 ist kein Widerspruch.
Ansatz: Achte bei Winkeln auf Betrag und Winkelfunktion.
Weiter: t = 0 ist eine ganz normale Lösung.
A10
Winkel schätzen
AFB III

Schätze den Schnittwinkel mit der Ebene \(x_3=0\) ohne Rechner.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 0°, 2 = zwischen 0° und 45°, 3 = 45°, 4 = zwischen 45° und 90°, 5 = 90°. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = 0°5 = 90°
Ebene x₃ = 5
Ebene x₁ = 0
Ebene x₁ − x₃ = 0
Ebene 3x₁ + x₃ = 0
Ebene x₁ − 3x₃ = 0
Gerade mit u = (1 | 0 | 1)
Je größer der x₃-Anteil des Normalenvektors im Vergleich zu den anderen, desto flacher liegt die Ebene: (1 | 0 | −3) ist fast senkrecht — die Ebene ist nur um etwa 18° geneigt.
Ansatz: Vergleiche den Normalenvektor mit (0 | 0 | 1).
Weiter: Steil (Normale fast waagerecht) heißt großer Schnittwinkel.