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Schnittprobleme und Winkel

Ein Laserstrahl trifft eine Wand, zwei Dachflächen bilden einen First: Einsetzen und Normalenvektoren liefern Punkte und Winkel.

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Ein Laserstrahl trifft eine Wand

AFB I–II

Ein Laser im Punkt \(L(0|1|1)\) sendet einen Strahl in Richtung \(\vec u=(4|1|1)\). Eine schräge Wand liegt in \(E\colon x_1+2x_2+2x_3=18\) (1 LE = 1 m).

  1. Berechnen Sie den Punkt, in dem der Strahl auf die Wand trifft.
  2. Bestimmen Sie den Winkel, unter dem der Strahl auf die Wand trifft.
  3. Erläutern Sie, warum in b) der Sinus und nicht der Kosinus verwendet wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Strahl in die Koordinatengleichung einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gerade–Ebene: Sinus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welchen Winkel schließen u und n ein?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(4t+2(1+t)+2(1+t)=4+8t=18\Rightarrow t=1{,}75\); \(S(7|2{,}75|2{,}75)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec u\cdot\vec n=4+2+2=8\), \(|\vec u|=\sqrt{18}\), \(|\vec n|=3\): \(\sin\varphi=\tfrac{8}{3\sqrt{18}}\approx0{,}629\Rightarrow\varphi\approx38{,}9^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Wand. Das Skalarprodukt liefert den Winkel zwischen Strahl und Normale, also \(90^\circ-\varphi\). Wegen \(\cos(90^\circ-\varphi)=\sin\varphi\) steht in der Formel der Sinus.

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Ein Satteldach

AFB II–III

Die Dachflächen eines Hauses liegen in \(E\colon x_1+x_3=6\) und \(F\colon -x_1+x_3=2\); der Boden ist die \(x_1x_2\)-Ebene (1 LE = 1 m).

  1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Firstgeraden (Schnittgerade von \(E\) und \(F\)).
  2. Weisen Sie nach, dass die Dachfläche \(E\) um \(45^\circ\) gegen den Boden geneigt ist.
  3. Entwickeln Sie eine Gleichung der Form \(a\,x_1+x_3=2\) (\(a\gt0\)) für eine flachere zweite Dachfläche mit \(30^\circ\) Neigung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gleichungen addieren bzw. subtrahieren, \(x_2=t\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Winkel zwischen \((1|0|1)\) und \((0|0|1)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\cos30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}\) nach a auflösen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Addieren: \(2x_3=8\Rightarrow x_3=4\); dann \(x_1=2\); \(x_2\) ist frei: \(s\colon\vec x=(2|0|4)+t\,(0|1|0)\). Der First verläuft 4 m hoch parallel zur \(x_2\)-Achse.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\cos\varphi=\tfrac{|1|}{\sqrt2\cdot1}=\tfrac{1}{\sqrt2}\Rightarrow\varphi=45^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\tfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\tfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow a^2+1=\tfrac43\Rightarrow a=\tfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577\). Gleichung: \(0{,}577\,x_1+x_3=2\) (bzw. \(x_1+\sqrt3\,x_3=2\sqrt3\)).