MINT lernen

Körper koordinatisieren

Ein Ferienhaus und eine Pyramide im Würfel: Wer die Ecken koordinatisieren kann, beschreibt jeden Körper mit wenigen Zahlen.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Ein Ferienhaus

AFB I–II

Ein Ferienhaus besteht aus einem quaderförmigen Unterbau mit der Grundfläche \(A(6|0|0)\), \(B(6|10|0)\), \(C(0|10|0)\), \(D(0|0|0)\) und 4 m hohen Wänden sowie einem Satteldach. Der First verläuft von \(S(3|0|7)\) nach \(T(3|10|7)\) (1 LE = 1 m).

Ferienhaus mit Satteldach
x₁x₂x₃ABCDEFGHST
Schrägbild des Hauses (verdeckte Kanten gestrichelt)
  1. Geben Sie die Koordinaten der Dachecken \(E\), \(F\), \(G\) und \(H\) an.
  2. Beschreiben Sie die Lage des Firsts \(ST\) im Koordinatensystem.
  3. Bestimmen Sie, wie hoch der First über der Traufe liegt und wie breit die Giebelwand ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Dachecken liegen senkrecht über den Ecken der Grundfläche.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welche Koordinaten stimmen bei S und T überein?
Hinweis zu Aufgabe c)
Traufe = obere Kante der Wand.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E(6|0|4)\), \(F(6|10|4)\), \(G(0|10|4)\), \(H(0|0|4)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

S und T stimmen in \(x_1=3\) und \(x_3=7\) überein; der First ist parallel zur \(x_2\)-Achse, liegt 7 m hoch genau über der Mitte des Hauses und ist 10 m lang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

First \(7-4=3\) m über der Traufe; die Giebelwand \(ADHSE\) ist 6 m breit (von \(x_1=0\) bis \(x_1=6\)).

2

Eine Pyramide im Würfel

AFB II–III

In einem Würfel mit der Kantenlänge 6 und den Ecken \(O(0|0|0)\), \(P(6|0|0)\), \(Q(6|6|0)\), \(R(0|6|0)\) (Boden) steht eine Pyramide. Ihre Grundfläche ist der Boden \(OPQR\), ihre Spitze \(S\) ist der Mittelpunkt der Deckfläche des Würfels.

Pyramide im Würfel
x₁x₂x₃OPQRS
Pyramide OPQRS im Würfel der Kantenlänge 6 (Würfel nicht gezeichnet)
  1. Ermitteln Sie die Koordinaten der Spitze \(S\).
  2. Untersuchen Sie, ob der Punkt \(M(1{,}5|1{,}5|3)\) auf der Seitenkante \(\overline{OS}\) liegt.
  3. Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem man zu jeder Höhe \(h\) mit \(0\le h\le6\) den Punkt der Kante \(\overline{OS}\) in dieser Höhe angibt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Mittelpunkt der Deckfläche des Würfels in der Höhe 6.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche \(\overrightarrow{OM}\) mit \(\overrightarrow{OS}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Welcher Anteil der Kante ist bis zur Höhe h zurückgelegt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Deckfläche liegt in \(x_3=6\); ihr Mittelpunkt ist \(S(3|3|6)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{OS}=(3|3|6)\), \(\overrightarrow{OM}=(1{,}5|1{,}5|3)=\tfrac12\overrightarrow{OS}\). M ist der Mittelpunkt der Kante und liegt darauf.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Entlang \(\overline{OS}\) wächst \(x_3\) gleichmäßig von 0 auf 6. In der Höhe \(h\) ist der Anteil \(\tfrac h6\) zurückgelegt: \(X_h=\tfrac h6\cdot(3|3|6)=\big(\tfrac h2\,|\,\tfrac h2\,|\,h\big)\). Probe: \(h=6\) liefert \(S\), \(h=3\) liefert \(M\).