Stützvektor, Richtungsvektor, Parameter — zehn Übungen, bei denen du Geraden aufstellst, prüfst und durchläufst.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Gleichungen derselben Geraden
AFB I
Welche Gleichungen beschreiben die Gerade durch \(A(1|2|0)\) und \(B(3|1|4)\)?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Jeder Punkt der Geraden taugt als Stützpunkt — auch (5 | 0 | 8) = A + 2 · AB — und jedes Vielfache von AB ≠ 0 als Richtungsvektor. Der Ortsvektor von B ist kein Richtungsvektor.
Ansatz: Richtungsvektor: Verbindungsvektor AB oder ein Vielfaches.
Weiter: Prüfe beim Stützpunkt, ob er auf der Geraden liegt.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Aussagen über Geradengleichungen.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Eine Parameterdarstellung ist wie ein Fahrplan: Stützpunkt = Startort, Richtungsvektor = Weg pro Zeiteinheit, t = Zeit.
Ansatz: Setze kleine Werte für t ein.
Weiter: Achte auf den Nullvektor.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I
Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
In x = p + t · u heißt p der und u der . Die Zahl t ist der . Ob ein Punkt auf der Geraden liegt, klärt die . Den Schnittpunkt mit einer Koordinatenebene nennt man .
Einen Normalenvektor hat eine Ebene, keine Gerade — er steht senkrecht auf ihr.
Ansatz: Welche Rolle spielt jeder Teil der Gleichung?
Weiter: Spurpunkte heißen so, weil die Gerade dort „Spuren“ in den Koordinatenebenen hinterlässt.
A4
Punkte auf g?
AFB II
Gegeben ist \(g\colon\vec x=(2|0|1)+t\,(1|2|{-1})\). Ordne die Punkte ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1auf g mit t > 0
2auf g mit t ≤ 0
3nicht auf g
(1 | −2 | 3): Aus x₁ folgt t = −1, dann müsste x₃ = 2 sein. Ein Widerspruch in einer Zeile genügt.
Ansatz: Bestimme t aus der ersten Zeile.
Weiter: Setze dieses t in die anderen Zeilen ein.
A5
Spurpunkt berechnen
AFB II
Die Gerade \(g\colon\vec x=(1|4|6)+t\,(2|{-1}|{-3})\) durchstößt die \(x_1x_2\)-Ebene. Gib die \(x_1\)-Koordinate des Spurpunkts an.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Ordne jeder Beschreibung eine passende Geradengleichung zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Liegt eine Gerade in der x₁x₂-Ebene, haben Stützpunkt und Richtungsvektor beide x₃ = 0.
Ansatz: Achte darauf, welche Koordinate des Richtungsvektors null ist.
Weiter: Achsen und Parallelen zu Achsen haben nur einen Eintrag ≠ 0.
A9
Fehlersuche: Punktprobe
AFB IIITrick
Zur Geraden \(g\colon\vec x=(1|0|2)+t\,(2|1|{-1})\) wurden sechs Notizen gemacht — drei sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 ist die typische Falle: Zwei übereinstimmende Zeilen reichen nicht — alle drei müssen dasselbe t liefern.
Ansatz: Rechne jede Punktprobe vollständig.
Weiter: Bei Spurpunkten: welche Koordinate wird null?
A10
Wo liegt der Punkt?
AFB III
Die Gerade ist \(\vec x=\vec a+t\cdot\overrightarrow{AB}\). Wo liegt der Punkt \(X_t\) im Vergleich zu \(A\) und \(B\)?
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = vor A, 2 = genau in A, 3 = zwischen A und B, 4 = genau in B, 5 = hinter B. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = vor A5 = hinter B
t = −1
t = 0
t = 0,3
t = 1
t = 2,5
t = 0,5
Die Strecke AB gehört zu 0 ≤ t ≤ 1; t = 0,5 ist ihr Mittelpunkt.
Ansatz: Was ergibt t = 0 und was t = 1?
Weiter: Negative t liegen auf der anderen Seite von A.
