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Geradengleichungen aufstellen

Flugbahnen und Seilbahnen verlaufen geradlinig — mit einer Parametergleichung lässt sich jede Position berechnen.

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Ein Flugzeug im Landeanflug

AFB I–II

Ein Flugzeug fliegt geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Um 10:00 Uhr ist es im Punkt \(P(10|{-2}|3)\), eine Minute später in \(Q(12|2|3{,}5)\) (Angaben in km).

  1. Stellen Sie eine Gleichung der Flugbahn auf, bei der der Parameter \(t\) die Zeit in Minuten nach 10:00 Uhr angibt.
  2. Berechnen Sie die Position des Flugzeugs um 10:05 Uhr.
  3. Überprüfen Sie, ob das Flugzeug den Kontrollpunkt \(K(4|{-14}|1{,}5)\) passiert hat, und geben Sie gegebenenfalls die Uhrzeit an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stützpunkt ist die Position um 10:00 Uhr.
Hinweis zu Aufgabe b)
t = 5 einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Punktprobe; ein negatives t liegt vor 10:00 Uhr.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(g\colon\vec x=(10|{-2}|3)+t\,(2|4|0{,}5)\), \(t\) in Minuten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec x=(10|{-2}|3)+5\cdot(2|4|0{,}5)=(20|18|5{,}5)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(10+2t=4\Rightarrow t=-3\); \(-2+4\cdot(-3)=-14\) ✓; \(3+0{,}5\cdot(-3)=1{,}5\) ✓. K liegt auf der Bahn; das Flugzeug war um 9:57 Uhr dort.

2

Eine Seilbahn

AFB II–III

Das Tragseil einer Seilbahn verläuft geradlinig von der Talstation \(T(2|1|0)\) zur Bergstation \(B(8|13|4)\) (1 LE = 100 m).

Seilbahn
x₁x₂x₃TBMF
Tragseil von T nach B mit Mastpunkt M; orange die Stütze bei F (Skizze nicht maßstabsgetreu)
  1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Seilgeraden und den Parameterbereich, der zum Seil zwischen den Stationen gehört.
  2. Untersuchen Sie, ob der Punkt \(M(5|7|2)\) auf dem Seil liegt, und beschreiben Sie seine Lage.
  3. Beurteilen Sie, ob eine 100 m hohe Stütze mit dem Fußpunkt \(F(4|5|0)\) das Seil erreicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stützpunkt T, Richtung TB.
Hinweis zu Aufgabe b)
Punktprobe mit dem Parameterbereich.
Hinweis zu Aufgabe c)
Über F: welches t, welche Seilhöhe?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\vec x=(2|1|0)+t\,(6|12|4)\) mit \(0\le t\le1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(2+6t=5\Rightarrow t=0{,}5\); \(1+12\cdot0{,}5=7\) ✓, \(4\cdot0{,}5=2\) ✓. M liegt auf dem Seil, genau in der Mitte zwischen T und B, 200 m über dem Tal.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Über \(F\) gilt \(2+6t=4\) und \(1+12t=5\), also \(t=\tfrac13\). Das Seil liegt dort in der Höhe \(4\cdot\tfrac13\approx1{,}33\) LE ≈ 133 m. Die Stütze ist nur 100 m hoch und endet rund 33 m unter dem Seil — sie müsste um mindestens 33 m verlängert werden.