Stützvektor und Richtungsvektor
Eine Gerade ist festgelegt durch einen Punkt, an dem man startet, und eine Richtung, in die man läuft. Der Parameter \(t\) zählt, wie oft man den Richtungsvektor geht.
- Parameterform:\(g:\ \vec x=\vec p+t\cdot\vec u\) mit \(t\in\mathbb R\).
- Stützvektor \(\vec p\):Ortsvektor eines Punktes \(P\) der Geraden (Stützpunkt).
- Richtungsvektor \(\vec u\):gibt die Richtung an; \(\vec u\neq\vec 0\).
- Parameter \(t\):jedes \(t\) liefert genau einen Punkt \(X\); \(t<0\) läuft rückwärts, \(t=0\) liefert \(P\).
Starte den Lauf: Der Punkt \(X\) bewegt sich mit wachsendem \(t\) entlang der Geraden. Halte an, gehe in ganzen Schritten und beobachte, wie sich die Koordinaten ändern.
Halte fest: Durchläuft \(t\) alle reellen Zahlen, überstreicht \(X\) die ganze Gerade — \(t=0\) liefert den Stützpunkt, jede Erhöhung um 1 hängt einmal \(\vec u\) an.
Gerade durch zwei Punkte
Meist ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben. Einer wird Stützpunkt, der Verbindungsvektor wird Richtungsvektor.
Herleitung:
- Strecke \(\overline{AB}\):dieselbe Gleichung, aber nur \(0\le t\le 1\).
- Nicht eindeutig:Jeder Punkt der Geraden taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache \(r\cdot\vec u\) (\(r\neq0\)) als Richtungsvektor.
- In der Ebene:gleiche Form mit zwei Einträgen.
Gerade durch A und B: \(g:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB},\ t\in\mathbb R\)
Allgemeine Hinweise
Richtung ist kein Punkt
Der Richtungsvektor \(\vec u\) zeigt keine Stelle an. Nur \(\vec p\) ist ein Ortsvektor — \(\overrightarrow{OB}\) als Richtungsvektor wäre falsch.
Andere Gleichung, gleiche Gerade
\(\vec x=\overrightarrow{OB}+s\cdot\overrightarrow{BA}\) beschreibt dieselbe Gerade. Ergebnisse sehen verschieden aus und können trotzdem stimmen.
Strecke ≠ Gerade
Ist nur die Strecke gemeint (Rohr, Flugbahn zwischen zwei Orten), gehört der Bereich \(0\le t\le1\) zur Gleichung.