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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Legen die Punkte eine Ebene fest?
AFB IWelche Punktetripel legen genau eine Ebene fest?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden (AB und AC kollinear), gibt es unendlich viele Ebenen durch sie.
Ansatz: Berechne AB und AC.
Weiter: Sind sie kollinear, fällt das Tripel weg.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Aussagen über Ebenen in Parameterform.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Parameterform der Ebene: ein Punkt und zwei Richtungen, in die man sich frei bewegen kann.
Ansatz: Denke an ein Blatt Papier im Raum.
Weiter: Kollineare Spannvektoren spannen kein Blatt auf.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB ISetze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
In x = p + r · u + s · v heißt p der , u und v heißen . Eine Ebene hat zwei . Die Vektoren u und v dürfen nicht sein. Ob ein Punkt in der Ebene liegt, klärt die .
Der Normalenvektor gehört zur Normalen- und Koordinatenform, nicht zur Parameterform.
Ansatz: Wie viele Parameter braucht man für eine Fläche?
Weiter: Zwei Richtungen müssen verschieden sein.
A4
Lage der Ebene
AFB IIOrdne die Ebenen ein.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1parallel zur x₁x₂-Ebene
2enthält die x₃-Achse
3weder noch
Parallel zur x₁x₂-Ebene: beide Spannvektoren mit x₃ = 0. Enthält die x₃-Achse: Ebene durch O mit (0 | 0 | 1) als Spannvektor. x = (1|0|0) + … ist parallel zur x₂x₃-Ebene.
Ansatz: Schau auf die dritte Koordinate der Spannvektoren.
Weiter: Geht die Ebene durch O?
A5
Punkt in der Ebene
AFB IIFür welches \(a\) liegt \(P(3|a|5)\) in \(E\colon\vec x=(1|0|2)+r\,(1|1|0)+s\,(0|1|3)\)?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Zeile 1: \(1+r=3\Rightarrow r=2\); Zeile 3: \(2+3s=5\Rightarrow s=1\); Zeile 2: \(a=r+s=3\).
Ansatz: Bestimme r und s aus den Zeilen ohne a.
Weiter: Setze sie in die Zeile mit a ein.
A6
Ebene aus drei Punkten
AFB IIMixBringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Einen der Punkte als Stützpunkt wählen
2Zwei Verbindungsvektoren als Spannvektoren bilden
3Prüfen, dass die Spannvektoren nicht kollinear sind
4Gleichung x = p + r · u + s · v aufschreiben
5Probe mit dem dritten Punkt
Die Kollinearitätsprüfung klärt, ob die Punkte überhaupt eine Ebene festlegen.
Ansatz: Womit fängt die Gleichung an?
Weiter: Kontrolle: Jeder der drei Punkte muss passende r, s haben.
A7
Rechenkette: Punktprobe
AFB IIDie Ebene \(E\) geht durch \(A(2|0|1)\), \(B(4|1|1)\) und \(C(2|3|4)\); Stützpunkt \(A\), Spannvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- x₁-Koordinate von AB
- x₃-Koordinate von AC
- x₂-Koordinate des Punkts mit r = 1, s = 1
- Parameter s für Q(6 | 5 | 4)
AB = (2 | 1 | 0), AC = (0 | 3 | 3); r = s = 1 liefert (4 | 4 | 4). Für Q: 2 + 2r = 6 ⇒ r = 2; 1 + 3s = 4 ⇒ s = 1; Zeile 2: 2 + 3 = 5 ✓.
Ansatz: Spannvektoren: Spitze minus Fuß.
Weiter: Bei der Punktprobe zuerst Zeilen mit nur einem Parameter nutzen.
A8
Ebene und Beschreibung
AFB IIIOrdne jeder Beschreibung eine Gleichung zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die Spannvektoren verraten die Richtungen, der Stützpunkt die Verschiebung.
Ansatz: Welche Koordinaten sind in der Ebene frei?
Weiter: Die festen Werte stecken im Stützpunkt.
A9
Fehlersuche: Pultdach
AFB IIITrickEin Pultdach geht durch \(A(4|0|3)\), \(B(4|6|3)\) und \(D(0|0|5)\). Drei Notizen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Richtungsfehler bei Verbindungsvektoren übertragen sich auf jede weitere Rechnung — hier auf die vierte Ecke.
Ansatz: Rechne AB und AD selbst aus.
Weiter: Die vierte Ecke eines Parallelogramms: C = B + AD.
A10
Innen, Rand oder außen?
AFB III\(ABCD\) ist ein Parallelogramm, \(X=\vec a+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}\). Wo liegt \(X\)?
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = im Inneren, 2 = auf dem Rand, 3 = außerhalb, aber in der Ebene. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = im Inneren3 = außerhalb, aber in der Ebene
r = 0,5; s = 0,5
r = 1; s = 0,3
r = 1,5; s = 0,5
r = 0; s = 0
r = −0,2; s = 0,4
r = 0,2; s = 1
Das Parallelogramm gehört zu 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1. Ist einer der Werte 0 oder 1, liegt X auf dem Rand.
Ansatz: Welche r- und s-Werte gehören zur Fläche?
Weiter: Rand heißt: mindestens ein Parameter ist 0 oder 1.