MINT lernen

Ebenengleichungen aufstellen

Dachflächen, Sonnensegel und Antennen: Ebenen in Parameterform beschreiben ebene Bauteile Punkt für Punkt.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Ein Pultdach

AFB I–II

Die Dachfläche eines Carports ist ein Rechteck mit den Ecken \(A(4|0|3)\), \(B(4|6|3)\) und \(D(0|0|5)\) (1 LE = 1 m); die vierte Ecke heißt \(C\).

Pultdach ABCD
x₁x₂x₃ABCD
Rechteckige Dachfläche, links 5 m, rechts 3 m hoch
  1. Stellen Sie eine Gleichung der Dachebene in Parameterform auf.
  2. Weisen Sie nach, dass der Punkt \(P(2|3|4)\) auf der Dachfläche liegt.
  3. Geben Sie die Koordinaten der vierten Ecke \(C\) an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stützpunkt A, Spannvektoren AB und AD.
Hinweis zu Aufgabe b)
Parameter bestimmen und prüfen, ob sie im Bereich 0 bis 1 liegen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Im Parallelogramm gilt \(\vec c=\vec b+\overrightarrow{AD}\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E\colon\vec x=(4|0|3)+r\,(0|6|0)+s\,(-4|0|2)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zeile 1: \(4-4s=2\Rightarrow s=0{,}5\); Zeile 2: \(6r=3\Rightarrow r=0{,}5\); Zeile 3: \(3+2\cdot0{,}5=4\) ✓. Wegen \(0\le r,s\le1\) liegt P auf der Dachfläche — genau in ihrer Mitte.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\vec c=(4|6|3)+(-4|0|2)=(0|6|5)\).

2

Eine Antenne über einer Hangebene

AFB II–III

Ein Hang wird durch \(E\colon\vec x=r\,(1|0|1)+s\,(0|1|1)\) beschrieben. Die Spitze einer Antenne befindet sich in \(S(2|3|8)\).

  1. Zeigen Sie, dass \(S\) nicht in \(E\) liegt.
  2. Ermitteln Sie den Punkt \(F\) des Hangs, der senkrecht unter \(S\) (in \(x_3\)-Richtung) liegt, und die Höhe der Antenne über diesem Punkt.
  3. Diskutieren Sie die Behauptung: „Die Antennenspitze hat vom Hang den Abstand 3 LE.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Punktprobe: r und s aus den ersten beiden Zeilen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gleiche \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinate wie S.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ist die senkrechte Linie in x₃-Richtung die kürzeste Verbindung zu einer schrägen Ebene?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zeile 1: \(r=2\), Zeile 2: \(s=3\); Zeile 3 verlangt \(r+s=5\ne8\). S liegt nicht in E.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Mit \(r=2\), \(s=3\): \(F(2|3|5)\). Die Spitze liegt \(8-5=3\) LE senkrecht über F.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der Wert 3 ist die lotrechte Höhe über dem Hang, nicht der Abstand. Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Ebene; weil der Hang geneigt ist, ist sie kürzer als 3 LE (mit dem Normalenvektor \((1|1|{-1})\) ergibt sich später \(\tfrac{3}{\sqrt3}\approx1{,}73\) LE). Für die Frage „Wie hoch steht die Antenne?“ ist 3 LE richtig, für „Wie nah kommt sie dem Hang?“ nicht.