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Übungen: Normalen- und Koordinatenform

Ein Pfeil senkrecht zur Ebene genügt: zehn Übungen zu Normalenvektoren, Koordinatengleichungen und Spurpunkten.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Normalenvektoren erkennen
AFB I

Welche Vektoren sind Normalenvektoren von \(E\colon 2x_1-x_2+3x_3=6\)?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Jedes Vielfache ≠ 0 des Koeffizientenvektors ist ein Normalenvektor; der Nullvektor nie.
Ansatz: Lies die Koeffizienten vor x₁, x₂, x₃ ab.
Weiter: Prüfe, ob der Vektor ein Vielfaches davon ist.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zur Koordinatenform.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Fehlt eine Variable in der Koordinatengleichung, ist die Ebene parallel zu dieser Achse.
Ansatz: Setze Punkte ein.
Weiter: Welche Koordinaten sind in x₃ = 2 frei?
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein steht senkrecht auf allen Richtungen der Ebene. Er ist also zu beiden Spannvektoren. Multipliziert man die (x − p) · n = 0 aus, erhält man die n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d. Setzt man zwei Koordinaten null, erhält man die .

Ein Richtungsvektor liegt in der Ebene — ein Normalenvektor steht senkrecht darauf.
Ansatz: Was steht senkrecht, was liegt in der Ebene?
Weiter: Die Normalenform enthält ein Skalarprodukt.
A4
Lage der Ebene
AFB II

Ordne die Ebenen ein.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1parallel zu einer Achse
2parallel zu einer Koordinatenebene
3allgemeine Lage
Fehlt eine Variable: parallel zu dieser Achse. Fehlen zwei: parallel zur Koordinatenebene der fehlenden Variablen.
Ansatz: Zähle die fehlenden Variablen.
Weiter: Eine fehlt: Achse. Zwei fehlen: Koordinatenebene.
A5
d bestimmen
AFB II

Die Ebene \(E\) hat den Normalenvektor \((1|4|{-2})\) und geht durch \(P(3|{-1}|2)\). Gib \(d\) in \(x_1+4x_2-2x_3=d\) an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(d=\vec n\cdot\vec p=3-4-4=-5\).
Ansatz: d = n · p.
Weiter: Achte auf die Vorzeichen.
A6
Von der Parameter- zur Koordinatenform
AFB IIMix

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ansatz n · u = 0 und n · v = 0 aufschreiben
2Eine Koordinate von n frei wählen (≠ 0)
3Die anderen beiden Koordinaten bestimmen
4Probe: beide Skalarprodukte null?
5d = n · p mit dem Stützvektor berechnen
6Koordinatengleichung aufschreiben
Zwei Gleichungen, drei Unbekannte — deshalb darf und muss man eine Koordinate frei wählen.
Ansatz: Was muss n erfüllen?
Weiter: d kommt erst ganz am Ende.
A7
Rechenkette: Koordinatenform
AFB II

Gegeben ist \(E\colon\vec x=(1|0|2)+r\,(2|1|0)+s\,(0|1|1)\). Gesucht ist \(\vec n=(1|n_2|n_3)\).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. n₂
  2. n₃
  3. d in x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d
  4. x₃-Koordinate des Spurpunkts S₃
2 + n₂ = 0 ⇒ n₂ = −2; n₂ + n₃ = 0 ⇒ n₃ = 2. d = 1 + 0 + 4 = 5. E: x₁ − 2x₂ + 2x₃ = 5, S₃(0 | 0 | 2,5).
Ansatz: n · (2 | 1 | 0) = 0 liefert n₂.
Weiter: n · (0 | 1 | 1) = 0 liefert n₃.
A8
Ebene und Spurpunkte
AFB III

Ordne jeder Ebene ihre Spurpunkte zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Ist eine Ebene parallel zu einer Achse, schneidet sie diese nicht — es fehlt der zugehörige Spurpunkt.
Ansatz: Setze jeweils zwei Koordinaten null.
Weiter: Fehlt eine Variable, gibt es keinen Schnitt mit dieser Achse.
A9
Fehlersuche
AFB IIITrick

Sechs Notizen zur Normalen- und Koordinatenform — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Wer eine Gleichung vervielfacht, muss die rechte Seite mitnehmen — sonst entsteht eine parallele Ebene.
Ansatz: Prüfe beide Skalarprodukte.
Weiter: Beim Vervielfachen: beide Seiten.
A10
Was passiert mit der Ebene?
AFB III

Die Ebene \(E\colon x_1+2x_2+2x_3=d\) wird verändert. Was passiert?

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = dieselbe Ebene, 2 = parallel verschoben, 3 = andere Stellung (gekippt). Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = dieselbe Ebene3 = andere Stellung (gekippt)
alle Koeffizienten und d werden mit 3 multipliziert
nur d wird verändert
der Koeffizient von x₁ wird verändert
die Gleichung wird mit −1 multipliziert
d wird durch 0 ersetzt
der Term 2x₃ wird weggelassen
Der Normalenvektor bestimmt die Stellung, d die Lage. Gleiche Stellung, anderes d: parallele Ebene.
Ansatz: Ändert sich der Normalenvektor (bis auf ein Vielfaches)?
Weiter: Wenn nicht: Ändert sich d im gleichen Verhältnis?