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Normalen- und Koordinatenform

Ein Hang, ein Normalenvektor und eine Gleichung: So prüft man mit einer einzigen Rechnung, ob ein Punkt in einer Ebene liegt.

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Ein vermessener Hang

AFB I–II

Ein Hang wird näherungsweise durch die Ebene durch \(A(4|0|0)\), \(B(0|6|0)\) und \(C(0|0|3)\) beschrieben (1 LE = 10 m).

Hangebene
x₁x₂x₃ABC
Spurdreieck ABC der Hangebene
  1. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Hangebene auf.
  2. Geben Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform an.
  3. Überprüfen Sie, ob der Messpunkt \(P(2|1|1)\) auf dem Hang liegt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achsenabschnitte 4, 6, 3 — oder Normalenvektor aus zwei Spannvektoren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Stützpunkt und Normalenvektor aus a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Einsetzen in die Koordinatengleichung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(-4|6|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-4|0|3)\); \(\vec n=(3|2|4)\) erfüllt \(-12+12=0\) und \(-12+12=0\). \(d=\vec n\cdot\vec a=12\): \(E\colon 3x_1+2x_2+4x_3=12\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\big(\vec x-(4|0|0)\big)\cdot(3|2|4)=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(3\cdot2+2\cdot1+4\cdot1=12\) ✓ — P liegt auf dem Hang.

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Zwei Ebenen im Vergleich

AFB II–III

Gegeben ist \(E\colon\vec x=(1|1|0)+r\,(1|0|2)+s\,(0|1|{-1})\) sowie \(F\colon 4x_1-2x_2-2x_3=5\).

  1. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung von \(E\).
  2. Untersuchen Sie die Lage von \(E\) zu den Koordinatenachsen, indem Sie die Spurpunkte bestimmen.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „\(F\) ist dieselbe Ebene wie \(E\), denn die Normalenvektoren sind Vielfache.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
\(\vec n\cdot(1|0|2)=0\), \(\vec n\cdot(0|1|{-1})=0\), \(n_3=1\) wählen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Jeweils zwei Koordinaten null setzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kollineare Normalen: parallel oder identisch — was sagt d?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(n_1+2n_3=0\), \(n_2-n_3=0\); mit \(n_3=1\): \(\vec n=(-2|1|1)\). \(d=-2+1+0=-1\): \(E\colon -2x_1+x_2+x_3=-1\), gleichwertig \(2x_1-x_2-x_3=1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(S_1(0{,}5|0|0)\), \(S_2(0|{-1}|0)\), \(S_3(0|0|{-1})\). E schneidet alle drei Achsen, die \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse im negativen Bereich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Normalenvektoren \((4|{-2}|{-2})=2\cdot(2|{-1}|{-1})\) sind kollinear, also sind E und F parallel. Verdoppelt man \(2x_1-x_2-x_3=1\), erhält man \(4x_1-2x_2-2x_3=2\ne5\). Die Ebenen sind echt parallel, nicht identisch — die Aussage ist falsch.