Normalen- und Koordinatenform

Eine Ebene ist festgelegt durch einen Punkt und eine Richtung, die senkrecht auf ihr steht.

• Normalenvektor:\(\vec n\ne\vec 0\) steht senkrecht auf beiden Spannvektoren: \(\vec n\cdot\vec u=0\) und \(\vec n\cdot\vec v=0\).
• Idee:\(X\) liegt genau dann in \(E\), wenn der Pfeil \(\overrightarrow{PX}\) in der Ebene liegt — also senkrecht zu \(\vec n\) ist.
• Normalenform:\((\vec x-\vec p)\cdot\vec n=0\) mit Stützvektor \(\vec p\).
• Koordinatenform:Ausmultiplizieren liefert eine einzige Gleichung in \(x_1,x_2,x_3\).

Herleitung:

Blende die drei Darstellungen derselben Ebene übereinander ein: Spurdreieck (Koordinatenform), Parameternetz (Parameterform) und Normalenvektor (Normalenform). Wähle dann einen Probepunkt — alle drei Formen müssen dasselbe Urteil fällen.

Halte fest: Parameter-, Normalen- und Koordinatenform beschreiben dieselbe Punktmenge — die Koordinatenform prüft einen Punkt mit einer einzigen Rechnung, die Parameterform braucht ein Gleichungssystem.

• Parameter → Koordinaten:\(\vec n\) aus \(\vec n\cdot\vec u=0\), \(\vec n\cdot\vec v=0\) (eine Koordinate frei wählen), dann \(d=\vec n\cdot\vec p\).
• Beispiel:\(\vec u=(1|0|{-1})\), \(\vec v=(0|2|1)\): \(n_1=n_3\), \(2n_2=-n_3\); mit \(n_3=2\) folgt \(\vec n=(2|{-1}|2)\).
• Koordinaten → Parameter:drei Punkte der Ebene wählen (z. B. Spurpunkte), einer wird Stützpunkt, zwei Verbindungsvektoren werden Spannvektoren.
• Spurpunkte:Schnitt mit den Achsen — zwei Koordinaten null setzen: \(4x_1+2x_2+x_3=8\) hat \(S_1(2|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|8)\).
• Besondere Lage:Fehlt \(x_1\) in der Gleichung, ist \(E\) parallel zur \(x_1\)-Achse; steht nur \(x_3\) da, ist \(E\) parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene.
• GTR:Casio fx-CG50, Run-Matrix: OPTN → MAT/VCT (F2) → ▷ (F6) → ▷ (F6) → CrossP( (F3), z. B. CrossP([[1,0,−1]],[[0,2,1]]) EXE → [[2, −1, 2]] als Kontrolle.
• CAS:TI-Nspire CX CAS: crossP([1,0,−1],[0,2,1]) → [2 −1 2]; \(d\) mit dotP.