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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Abstand 3 von x₃ = 2
AFB IWelche Punkte haben von der Ebene \(E\colon x_3=2\) den Abstand 3?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Bei einer waagerechten Ebene zählt nur x₃: d = |x₃ − 2|. Punkte unter der Ebene haben genauso einen positiven Abstand.
Ansatz: Welche Koordinate ist für diese Ebene wichtig?
Weiter: Vergiss die Punkte unterhalb der Ebene nicht.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Aussagen über Abstände.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Abstände zwischen Objekten mit gemeinsamen Punkten sind 0 — sinnvoll sind sie für Punkte, parallele Objekte und windschiefe Geraden.
Ansatz: Der Abstand ist immer die kürzeste Entfernung.
Weiter: Gemeinsame Punkte bedeuten Abstand 0.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB ISetze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Ebene ist das . Sein Endpunkt in der Ebene heißt . Die Lotgerade hat die Richtung des . In der Hesse-Formel teilt man durch den von n. Bei windschiefen Geraden hilft eine durch eine der Geraden.
Spurpunkte sind Schnittpunkte mit den Achsen — für Abstände spielen sie keine Rolle.
Ansatz: Welche Richtung hat die kürzeste Verbindung zur Ebene?
Weiter: Die Länge von n heißt Betrag.
A4
Welches Verfahren?
AFB IIOrdne jede Situation dem passenden Verfahren zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Punkt–Ebene (Hesse / Lotgerade)
2Punkt–Gerade (Lotfußpunkt auf g)
3windschiefe Geraden (Hilfsebene)
Parallele Objekte führt man auf einen Punkt zurück: einen beliebigen Punkt des einen Objekts wählen.
Ansatz: Was ist das eine Objekt, was das andere?
Weiter: Parallele Objekte: einen Punkt herausgreifen.
A5
Hesse-Formel
AFB IIBerechne den Abstand von \(Q(1|2|3)\) zu \(E\colon 2x_1-2x_2+x_3=12\) auf zwei Nachkommastellen.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(\dfrac{|2-4+3-12|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{11}{3}\approx3{,}67\) LE.
Ansatz: n · q − d berechnen.
Weiter: Durch |n| = 3 teilen, Betrag nehmen.
A6
Lotfußpunkt zur Ebene
AFB IIMixBringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Normalenvektor n aus der Koordinatengleichung ablesen
2Lotgerade ℓ: x = q + t · n aufstellen
3ℓ in die Koordinatengleichung einsetzen
4Nach t auflösen
5t in ℓ einsetzen: Lotfußpunkt F
6d = |QF| berechnen
Kontrolle: |t| · |n| muss dasselbe Ergebnis liefern wie |QF|.
Ansatz: Die Lotgerade braucht einen Punkt und eine Richtung.
Weiter: Erst F, dann die Länge.
A7
Rechenkette: Punkt–Gerade
AFB IIGegeben sind \(g\colon\vec x=(1|1|0)+t\,(2|1|2)\) und \(Q(2|4|2)\).
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Parameter t des Lotfußpunkts
- x₂-Koordinate von F
- x₂-Koordinate von QF
- Abstand d(Q, g) (2 Nachkommastellen) LE
QXₜ = (2t − 1 | t − 3 | 2t − 2); QXₜ · u = 9t − 9 = 0 ⇒ t = 1, F(3 | 2 | 2), QF = (1 | −2 | 0), d = √5 ≈ 2,24.
Ansatz: QXₜ · u = 0 lösen.
Weiter: Dann F einsetzen und |QF| bilden.
A8
Objekte und Abstand
AFB IIIOrdne jedem Objektpaar seinen Abstand zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Abstand zur x₃-Achse: √(x₁² + x₂²). Die x₁-Achse und die Gerade in der Höhe 2 parallel zur x₂-Achse sind windschief — ihr gemeinsames Lot ist ein Stück der x₃-Achse.
Ansatz: Beginne mit den Paaren, bei denen man den Abstand ablesen kann.
Weiter: Parallele Ebenen: |d₁ − d₂| / |n|.
A9
Fehlersuche
AFB IIITrickSechs Notizen zu Abständen — drei sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Bei Abständen paralleler Ebenen wird die Division durch |n| am häufigsten vergessen.
Ansatz: Prüfe bei jeder Hesse-Rechnung die Division durch |n|.
Weiter: Lot = senkrecht = Richtung n.
A10
Was passiert mit dem Abstand?
AFB IIIDer Punkt \(Q\) liegt nicht in der Ebene \(E\); \(F\) ist sein Lotfußpunkt. Wie ändert sich \(d(Q,E)\)?
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird 0, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = halbiert sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird 04 = halbiert sich
Q wird nach F verschoben
die Gleichung von E wird mit 5 multipliziert
Q wird parallel zu E verschoben
Q wird an E gespiegelt
Q wird so verschoben, dass QF doppelt so lang wird
Q wird durch den Mittelpunkt von Q und F ersetzt
Das Vervielfachen der Gleichung ändert n und d gleichermaßen — die Hesse-Formel liefert denselben Abstand.
Ansatz: Überlege geometrisch: Was passiert mit dem Lot?
Weiter: Die Ebene selbst ändert sich beim Vervielfachen nicht.