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Abstände berechnen

Ein Flugzeug über dem Hang und zwei kreuzende Stromleitungen: Abstände sind immer die kürzeste Verbindung.

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Ein Flugzeug über einem Hang

AFB I–II

Ein Hang liegt in \(E\colon 2x_1+x_2+2x_3=6\). Ein Kleinflugzeug befindet sich im Punkt \(Q(4|6|5)\) (1 LE = 100 m).

  1. Berechnen Sie den Abstand des Flugzeugs vom Hang.
  2. Bestimmen Sie den Lotfußpunkt \(F\) auf dem Hang.
  3. Vergleichen Sie den Abstand mit der Höhe des Flugzeugs senkrecht über dem Hang (in \(x_3\)-Richtung).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Hesse-Formel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Lotgerade \(\vec x=\vec q+t\,(2|1|2)\) in E einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Punkt des Hangs mit \(x_1=4\), \(x_2=6\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(d=\dfrac{|8+6+10-6|}{3}=\dfrac{18}{3}=6\) LE = 600 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(2(4+2t)+(6+t)+2(5+2t)=24+9t=6\Rightarrow t=-2\); \(F(0|4|1)\). Kontrolle: \(|t|\cdot|\vec n|=2\cdot3=6\) ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Senkrecht unter Q: \(8+6+2x_3=6\Rightarrow x_3=-4\), also 9 LE = 900 m Höhenunterschied. Der Abstand (600 m) ist kleiner, weil das Lot schräg auf den geneigten Hang trifft; die lotrechte Höhe überschätzt die Nähe zum Hang.

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Zwei Stromleitungen

AFB II–III

Zwei gerade Stromleitungen verlaufen entlang \(g\colon\vec x=(0|0|3)+r\,(1|1|0)\) und \(h\colon\vec x=(6|0|0)+s\,(0|1|1)\) (1 LE = 10 m). Sie dürfen sich nicht näher als 15 m kommen.

  1. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Leitungen.
  2. Ermitteln Sie den Abstand der Leitungen und beurteilen Sie die Vorgabe.
  3. Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem man die beiden Punkte bestimmt, an denen sich die Leitungen am nächsten kommen, und führen Sie es durch.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Richtungen, dann Gleichsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Hilfsebene durch g mit \(\vec n\perp(1|1|0),(0|1|1)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Laufende Punkte \(G_r\), \(H_s\); \(\overrightarrow{G_rH_s}\) senkrecht auf beiden Richtungen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Richtungen nicht kollinear. \(r=6\), \(r=s\Rightarrow s=6\), dritte Zeile \(3=6\) — Widerspruch. Die Leitungen sind windschief.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\vec n=(1|{-1}|1)\); \(d=\dfrac{|((6|0|0)-(0|0|3))\cdot\vec n|}{\sqrt3}=\dfrac{|6-3|}{\sqrt3}=\sqrt3\approx1{,}73\) LE ≈ 17,3 m. Die Vorgabe von 15 m ist eingehalten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\overrightarrow{G_rH_s}=(6-r\,|\,s-r\,|\,s-3)\). Bedingungen: \(\cdot(1|1|0)\): \(6-2r+s=0\); \(\cdot(0|1|1)\): \(2s-r-3=0\). Lösung \(s=4\), \(r=5\): \(G(5|5|3)\), \(H(6|4|4)\), \(\overrightarrow{GH}=(1|{-1}|1)\) mit Länge \(\sqrt3\) — Bestätigung von b).