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Abstände berechnen

Wie nah kommt eine Drohne dem Mast wirklich — und an welchem Punkt ihrer Bahn ist sie ihm am nächsten?

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Punkt und Gerade

Der Abstand ist immer die kürzeste Verbindung — und die steht senkrecht.

  • Abstand:Länge der kürzesten Strecke von \(Q\) zu einem Punkt des Objekts.
  • Laufender Punkt:\(X_t=\vec p+t\,\vec u\) wandert auf \(g\); \(|\overrightarrow{QX_t}|\) hängt von \(t\) ab.
  • Lotfußpunkt:Am nächsten Punkt \(F\) steht \(\overrightarrow{QF}\) senkrecht auf \(g\): \(\overrightarrow{QX_t}\cdot\vec u=0\) liefert \(t\).
  • Abstand:\(d(Q,g)=|\overrightarrow{QF}|\).
  • Alternative:Hilfsebene durch \(Q\) mit Normalenvektor \(\vec u\) aufstellen und mit \(g\) schneiden — der Schnittpunkt ist \(F\).
  • Parallele Geraden:Abstand eines beliebigen Punktes der einen Geraden zur anderen.

Lass den Punkt \(X_t\) mit dem Regler über die Gerade \(g\) wandern. Rechts siehst du, wie sich die Entfernung zu \(Q\) ändert — achte auf das Skalarprodukt \(\overrightarrow{QX_t}\cdot\vec u\) an der tiefsten Stelle.

Den Lotfußpunkt finden

Halte fest: Genau dort, wo \(\overrightarrow{QX_t}\cdot\vec u=0\) wird, ist die Entfernung am kleinsten — der Lotfußpunkt ist die Stelle, an der die Verbindung senkrecht auf der Geraden steht.

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Punkt und Ebene

Zur Ebene führt das Lot in Richtung des Normalenvektors — daraus entsteht eine Formel ohne Lotfußpunkt.

  • Lotgerade:\(\ell\colon\vec x=\vec q+t\,\vec n\); ihr Schnittpunkt mit \(E\) ist der Lotfußpunkt \(F\).
  • Hesse-Form:Koordinatengleichung \(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\) durch \(|\vec n|\) teilen — dann liefert Einsetzen direkt den Abstand.
  • Beispiel:\(E\colon x_1+2x_2+2x_3=3\), \(Q(4|3|5)\): \(\dfrac{|4+6+10-3|}{3}=\dfrac{17}{3}\approx5{,}67\).
  • Parallele Objekte:Gerade \(\parallel E\) oder Ebene \(\parallel E\): Abstand eines beliebigen Punktes des Objekts zu \(E\).
  • Windschiefe Geraden:Hilfsebene \(H\) durch \(g\) mit \(\vec n\perp\vec u\) und \(\vec n\perp\vec v\) — dann ist \(d(g,h)=d(Q,H)\) für einen Punkt \(Q\) von \(h\), also \(\dfrac{|(\vec q-\vec p)\cdot\vec n|}{|\vec n|}\).

Herleitung:

\(\vec n\cdot(\vec q+t\,\vec n)=d\)
ausmultiplizieren
Start: Der Lotfußpunkt \(F=\vec q+t\,\vec n\) liegt in \(E\colon\vec n\cdot\vec x=d\).
\(\vec n\cdot\vec q+t\,|\vec n|^2=d\)
nach \(t\)
\(\vec n\cdot\vec n=|\vec n|^2\).
\(t=\dfrac{d-\vec n\cdot\vec q}{|\vec n|^2}\)
\(|\overrightarrow{QF}|=|t|\cdot|\vec n|\)
Der Weg von \(Q\) nach \(F\) ist \(t\cdot\vec n\).
\(d(Q,E)=\dfrac{|n_1q_1+n_2q_2+n_3q_3-d|}{|\vec n|}\)
Ergebnis
Ein \(|\vec n|\) kürzt sich weg; der Betrag macht den Abstand positiv.
Merke

Abstand Punkt–Ebene: \(d(Q,E)=\dfrac{|n_1q_1+n_2q_2+n_3q_3-d|}{|\vec n|}\)

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Allgemeine Hinweise

Betrag nicht vergessen

Ohne Betrag kommt je nach Seite der Ebene ein negativer Wert heraus. Das Vorzeichen verrät nur, auf welcher Seite \(Q\) liegt.

Probe am Lotfußpunkt

\(\overrightarrow{QF}\) muss kollinear zu \(\vec n\) (Ebene) bzw. orthogonal zu \(\vec u\) (Gerade) sein — und \(F\) muss auf dem Objekt liegen.

Nicht zum Stützpunkt

\(|\overrightarrow{QP}|\) zum Stützpunkt ist fast nie der Abstand — er ist nur eine obere Schranke.

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