Vorbereitung auf die Abiturprüfung: Zusammenfassung – Mathe Klasse 13

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Analysis vernetzt

Ableitung und Integral sind Umkehrungen voneinander; Scharen und Steckbriefe verbinden beides mit Gleichungen.

Graphen deuten

Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel → Extremstelle von F; Extremstelle von f → Wendestelle von F.

f(x₀) = 0, VZW + → − ⇒ Hochpunkt von F

Bestand

Anfangsbestand plus orientierte Fläche unter der Änderungsrate.

B(t) = B(0) + ∫₀ᵗ r(x) dx

Ortskurve

Extrempunkt in Abhängigkeit von t, x nach t auflösen, in y einsetzen.

E(2t | −4t³) ⇒ y = −½x³

Gauß-Verfahren

Zeilen kombinieren bis zur Stufenform, dann rückwärts einsetzen.

0 = 0: unendlich viele · 0 = 5: keine Lösung

Hauptsatz

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Für jede Stammfunktion F; die Integralfunktion Iₐ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt erfüllt Iₐ′ = f.

Integral ist nicht Fläche

Liegt der Graph teilweise unter der x-Achse, an den Nullstellen trennen und Beträge addieren.

2

Wachstum und e-Funktion

Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung — daraus folgen alle Wachstumsmodelle.

Ableitungsregeln

Kettenregel für e^(kx), Produktregel für x · e^x.

(e^(kx))′ = k · e^(kx)

Exponentialgleichung

Erst den e-Term isolieren, dann logarithmieren.

3 · e^(2x) = 12 ⇒ x = ln 2

Begrenztes Wachstum

Die Änderung ist proportional zum Abstand von der Schranke S.

f(t) = S − (S − f(0)) · e^(−kt)

Logistisches Wachstum

Anfangs fast exponentiell, am Ende begrenzt; stärkste Zunahme bei S/2.

f′ = k · f · (S − f)

Stetige Verzinsung

f(t) = f(0) · e^(kt)

k > 0 Wachstum, k < 0 Zerfall; Verdopplungszeit t = ln 2 : k.

Die Schranke wird nie erreicht

Beim begrenzten Wachstum nähert sich f(t) der Schranke S nur an — „nach 50 Minuten sind es 50 °C“ ist falsch.

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Geometrie im Raum

Vektoren beschreiben Punkte, Richtungen und Ebenen; das Skalarprodukt misst Winkel und Abstände.

Verbindungsvektor

Spitze minus Fuß, Länge über den Betrag.

AB = B − A · |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

Ebene

Parameterform aus drei Punkten, Normalenvektor per Kreuzprodukt.

E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d

Lage von Geraden

Richtungsvektoren vergleichen, dann Punktprobe oder Gleichsetzen.

identisch · parallel · schneidend · windschief

Winkel

Geraden mit Kosinus, Gerade und Ebene mit Sinus.

cos α = |u · v| : (|u| · |v|)

Hessesche Normalform

d(P, E) = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d| : |n|

Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform.

Spitze minus Fuß

AB = A − B zeigt in die Gegenrichtung. Beim Betrag fällt der Fehler nicht auf, bei Geraden und Ebenen schon.

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Stochastik und Normalverteilung

Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Bernoulli-Ketten und die Glockenkurve als Näherung.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Bedingung steht im Index und im Nenner.

P_A(B) = P(A ∩ B) : P(A)

Binomialverteilung

n unabhängige Versuche, gleiche Trefferwahrscheinlichkeit p.

P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Normalverteilung

Stetig, Glocke um μ, Wendestellen bei μ ± σ.

P(a ≤ X ≤ b) = normCdf(a, b, μ, σ)

Konfidenzintervall

Alle p, mit denen das Stichprobenergebnis h verträglich ist.

|h − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : n)

Kenngrößen der Binomialverteilung

μ = n · p, σ = √(n · p · (1 − p))

Sigma-Regeln nur bei σ > 3; 95 %: μ ± 1,96σ.

Prognose oder Konfidenz?

p bekannt → Trefferzahl vorhersagen. Nur h bekannt → p schätzen. Die Aufgabenstellung entscheidet.

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Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Diese drei Stellen kosten im Abitur am häufigsten Bewertungseinheiten.

Operator ernst nehmen

„Zeigen“ verlangt einen lückenlosen Weg, „interpretieren“ einen Satz zum Sachkontext, „angeben“ nur das Ergebnis.

Rechnerlösung dokumentieren

Ansatz notieren, Rechnerbefehl oder Menüweg nennen, Ergebnis mit Einheit und Antwortsatz — sonst fehlen BE trotz richtiger Zahl.

Bedingungen begründen

Vor Binomial- oder Normalverteilung das Modell rechtfertigen: Unabhängigkeit, gleiches p, σ > 3.