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Vektoren, Geraden, Ebenen

Vom Punkt zur Ebene: zehn Übungen zu Vektoren, Geraden und Ebenengleichungen.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Ebenengleichungen
AFB I

Gegeben ist E: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 6. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Normalenvektor steht senkrecht auf E, er liegt nicht in E. Der Ursprung liefert 0 ≠ 6.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über Vektoren, Geraden und Ebenen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Normalenvektoren sind nur bis auf ein Vielfaches bestimmt — beim Vergleich zweier Ebenen deshalb auf Kollinearität achten.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Parameterform einer Ebene besteht aus einem und zwei nicht kollinearen . Das Kreuzprodukt der beiden liefert einen . Mit ihm schreibt man die n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d. Die Schnittpunkte mit den Achsen heißen

Der Nullvektor kann weder Richtungs- noch Normalenvektor sein — er hat keine Richtung.
A4
Lage des Punktes
AFB I

E: x₁ + x₂ + x₃ = 4. Ordne die Punkte zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1liegt in E
2n · p < 4
3n · p > 4
Punkte mit n · p < d liegen auf der einen Seite, mit n · p > d auf der anderen — das nutzt später die Hessesche Normalform.
A5
Blitzrechnung
AFB I

Berechne das Kreuzprodukt u × v für u = (1 | 0 | 2) und v = (0 | 1 | 3). Gib die erste Koordinate an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
u × v = (0 · 3 − 2 · 1 | 2 · 0 − 1 · 3 | 1 · 1 − 0 · 0) = (−2 | −3 | 1). Probe: (−2 | −3 | 1) · (1 | 0 | 2) = 0.
A6
Koordinatenform aus drei Punkten
AFB II

A(1 | 0 | 0), B(0 | 2 | 0), C(0 | 0 | 2). Bringe die Schritte in die Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1AB = (−1 | 2 | 0), AC = (−1 | 0 | 2)
2AB × AC = (4 | 2 | 2)
3n = (2 | 1 | 1)
4A einsetzen: 2 · 1 + 0 + 0 = 2
5E: 2x₁ + x₂ + x₃ = 2
Den Normalenvektor vor dem Einsetzen kürzen spart Rechenarbeit — d wird dann aus dem gekürzten Vektor berechnet.
A7
Rechenkette
AFB II

Gegeben sind A(2 | 1 | 0), B(4 | 3 | 1) und die Gerade g: x = A + r · AB.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Länge von AB: LE
  2. x₁-Koordinate des Punktes auf g für r = 2:
  3. x₃-Koordinate dieses Punktes:
  4. Für welches r hat der Punkt auf g die x₃-Koordinate 5?
AB = (2 | 2 | 1), |AB| = √9 = 3; für r = 2: (6 | 5 | 2). x₃ = 0 + r · 1 = 5 ⇒ r = 5.
A8
Darstellung und Bedeutung
AFB II

Ordne jeder Gleichung ihre Bedeutung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Fehlt eine Koordinate in der Koordinatenform, ist die Ebene parallel zur zugehörigen Achse.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Beim Kreuzprodukt wird die mittlere Koordinate am häufigsten falsch — Probe mit dem Skalarprodukt.
A10
Wie ändert sich der Abstand zum Ursprung?
AFB III

Die Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6 (Abstand zum Ursprung 2) wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird null, 2 = halbiert sich, 3 = bleibt gleich, 4 = wird größer, 5 = verdoppelt sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird null5 = verdoppelt sich
Rechte Seite 6 wird zu 12
Die ganze Gleichung wird mit 3 multipliziert
Rechte Seite wird 0
Rechte Seite 6 wird zu 3
Rechte Seite 6 wird zu 9
d(O, E) = |d| : |n|: Die rechte Seite steuert den Abstand linear, ein gemeinsamer Faktor kürzt sich weg.