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Vektoren, Geraden, Ebenen

Segel, Strahlen, Ebenen — zwei Aufgaben zur Geometrie im Raum.

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Sonnensegel

AFB I–II

Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten \(A(4\,|\,0\,|\,3)\), \(B(0\,|\,4\,|\,3)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,5)\) befestigt (Angaben in Metern, \(x_3\) ist die Höhe).

  1. Geben Sie eine Parameterform der Ebene \(E\) an, in der das Segel liegt.
  2. Bestimmen Sie eine Koordinatenform von \(E\).
  3. Berechnen Sie die Länge der Kante \(AB\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stützvektor A, Spannvektoren AB und AC.
Hinweis zu Aufgabe b)
Kreuzprodukt der Spannvektoren, dann d mit A.
Hinweis zu Aufgabe c)
Betrag des Verbindungsvektors.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(E:\ \vec x=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4\cdot2-0\cdot0\,|\,0\cdot(-4)-(-4)\cdot2\,|\,(-4)\cdot0-4\cdot(-4))=(8\,|\,8\,|\,16)\), \(\vec n=(1\,|\,1\,|\,2)\); \(d=4+0+6=10\): \(E:\ x_1+x_2+2x_3=10\). Probe: B: \(4+6=10\), C: \(10\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{16+16+0}=\sqrt{32}\approx5{,}66\) m.

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Laserstrahl auf das Segel

AFB II–III

Ein Laser steht im Punkt \(L(0\,|\,0\,|\,1)\) und strahlt in Richtung \(\vec u=(1\,|\,1\,|\,1)\). Das Sonnensegel aus Aufgabe 1 liegt in der Ebene \(E:\ x_1+x_2+2x_3=10\). Ein Mitschüler behauptet: „Der Strahl kann die Ebene gar nicht treffen, weil \(\vec u\) nicht senkrecht auf \(E\) steht.“

  1. Zeigen Sie, dass der Strahl die Ebene im Punkt \(S(2\,|\,2\,|\,3)\) trifft.
  2. Deuten Sie die Lage von \(S\) in Bezug auf das Segel.
  3. Ermitteln Sie den Winkel, unter dem der Strahl auf die Ebene trifft.
  4. Beurteilen Sie die Aussage des Mitschülers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Geradengleichung aufstellen und in die Koordinatenform einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche S mit A und B.
Hinweis zu Aufgabe c)
Winkel zwischen Gerade und Ebene: Sinus.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wann verfehlt eine Gerade eine Ebene?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(g:\ \vec x=(r\,|\,r\,|\,1+r)\). Einsetzen: \(r+r+2(1+r)=4r+2=10\Rightarrow r=2\), also \(S(2\,|\,2\,|\,3)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(S=\tfrac12(A+B)\): Der Strahl trifft genau die Mitte der Kante \(AB\), also den Rand des Segels.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\sin\alpha=\dfrac{\lvert\vec u\cdot\vec n\rvert}{\lvert\vec u\rvert\cdot\lvert\vec n\rvert}=\dfrac{4}{\sqrt3\cdot\sqrt6}\approx0{,}943\Rightarrow\alpha\approx70{,}5^\circ\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Aussage ist falsch. Eine Gerade trifft eine Ebene nur dann nicht, wenn sie parallel zu ihr ist, also \(\vec u\perp\vec n\). Hier ist \(\vec u\cdot\vec n=4\ne0\) — der Strahl trifft die Ebene, nur eben schräg.