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Vektoren, Geraden, Ebenen

Drei Eckpunkte einer Dachfläche genügen — und schon steckt die ganze Ebene in einer einzigen Gleichung.

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Punkte und Vektoren im Schrägbild

Fast jede Geometrieaufgabe beginnt mit einer Abbildung: Dach, Zelt, Pyramide. Wer fehlende Koordinaten sicher abliest, hat die ersten Bewertungseinheiten.

  • Achsen:\(x_1\) schräg nach vorn (eine Einheit als halbe Kästchendiagonale), \(x_2\) nach rechts, \(x_3\) nach oben.
  • Ablesen:vom Ursprung aus parallel zu den Achsen laufen, nie quer durchs Bild messen.
  • Verbindungsvektor:\(\overrightarrow{AB}=B-A\) — „Spitze minus Fuß“, koordinatenweise.
  • Länge:\(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).
  • Mittelpunkt:\(M=\tfrac12(A+B)\) — koordinatenweise den Mittelwert bilden.

Ziehe den orangen Messpunkt auf eine Ecke, eine Kantenmitte oder einen Firstpunkt — oder wähle ihn unten mit den Knöpfen. Der Kantenzug läuft vom Ursprung erst in \(x_1\)-, dann in \(x_2\)- und zuletzt in \(x_3\)-Richtung.

Koordinaten mit dem Kantenzug messen

Halte fest: Jede Koordinate ist die Länge eines Wegstücks parallel zu einer Achse. In \(x_1\)-Richtung ist das Bild verkürzt — dort zählt man Einheiten, statt zu messen.

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Ebenen aufstellen

  • Parameterform:\(E:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}\) — die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein.
  • Normalenvektor:steht senkrecht auf beiden Spannvektoren, z. B. \(\vec n=\vec u\times\vec v\).
  • Koordinatenform:\(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\), \(d\) durch Einsetzen eines Punktes.
  • Spurpunkte:Schnitt mit den Achsen: zwei Koordinaten null setzen.
  • TI-Nspire CAS:\(\text{crossP}([-2,4,0],[-2,0,4])\) liefert \([16\ \ 8\ \ 8]\).

Eine Ebene geht durch \(A(2\,|\,0\,|\,0)\), \(B(0\,|\,4\,|\,0)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,4)\). Gesucht ist eine Koordinatenform.

Herleitung:

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix},\ \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}\)
| Spannvektoren
Spitze minus Fuß.
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\cdot4-0\cdot0\\0\cdot(-2)-(-2)\cdot4\\(-2)\cdot0-4\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\8\\8\end{pmatrix}\)
| Kreuzprodukt
Jede Zeile aus den beiden anderen Zeilen über Kreuz.
\(\vec n=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\)
| : 8
Jedes Vielfache ist wieder ein Normalenvektor.
\(2x_1+x_2+x_3=d,\quad d=2\cdot2+0+0=4\)
| A einsetzen
Der Punkt \(A\) liegt in der Ebene.
\(E:\ 2x_1+x_2+x_3=4\)
Ergebnis
Probe mit \(B\) und \(C\): \(0+4+0=4\) und \(0+0+4=4\).
Merke

Koordinatenform: \(E:\ n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\) mit \(\vec n\perp E\)

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Allgemeine Hinweise

Die x1-Achse ist verkürzt

Eine Einheit in \(x_1\)-Richtung ist im Bild nur etwa 0,7 cm lang. Mit dem Lineal gemessene Längen stimmen dort nicht.

Mittlere Zeile des Kreuzprodukts

Die zweite Koordinate ist \(u_3v_1-u_1v_3\). Wer das Muster der ersten und dritten Zeile übernimmt, erhält das falsche Vorzeichen.

Probe mit dem Skalarprodukt

\(\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=-4+4+0=0\) und \(\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=-4+0+4=0\). Ist ein Produkt nicht null, steckt ein Rechenfehler im Normalenvektor.

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