Aufgabenblock — AFB III
Begründen, beurteilen, untersuchen: Formuliere eigene Argumente, bevor du die Musterlösung aufklappst — genau das verlangt der Anforderungsbereich III im Abitur.
Begründe, dass jede Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, aber nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion.
Hinweis: Betrachte \(f(x)=2x\) und \(F(x)=x^2+1\).
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Musterlösung: Nach dem Hauptsatz gilt \(I_a'(x)=f(x)\) — jede Integralfunktion ist also Stammfunktion. Umgekehrt hat jede Integralfunktion bei \(x=a\) die Nullstelle \(I_a(a)=0\). \(F(x)=x^2+1\) ist Stammfunktion von \(2x\), hat aber keine Nullstelle; also gibt es kein \(a\) mit \(F=I_a\).
Beurteile die Aussage: „Ist \(f'(x_0)=0\), dann hat \(f\) bei \(x_0\) einen Hoch- oder Tiefpunkt.“
Hinweis: Denke an \(f(x)=x^3\).
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. \(f'(x_0)=0\) ist nur notwendig. Bei \(f(x)=x^3\) ist \(f'(0)=0\), aber \(f'(x)=3x^2\ge0\) wechselt das Vorzeichen nicht — bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt. Hinreichend ist z. B. \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\ne0\) oder ein Vorzeichenwechsel von \(f'\).
Untersuche, wo die Hochpunkte der Schar \(f_t(x)=t\cdot x\cdot e^{-x}\) mit \(t>0\) liegen, und beschreibe ihre Ortskurve.
Hinweis: Leite mit der Produktregel ab; \(t\) ist ein konstanter Faktor.
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Musterlösung: \(f_t'(x)=t\,e^{-x}(1-x)\) ist nur für \(x=1\) null, mit Wechsel von \(+\) nach \(-\) (da \(t>0\)). Alle Hochpunkte \(H_t(1\,|\,\tfrac te)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate. Die Ortskurve ist also die senkrechte Gerade \(x=1\) (für \(y>0\)) — kein Funktionsgraph, weil man \(x=1\) nicht nach \(t\) auflösen kann.
Beurteile den Ansatz: „\(f\) ist ganzrational vom Grad 4 und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; Bedingungen: \(f(2)=0\), \(f(-2)=0\), \(f(0)=4\).“
Hinweis: Schreibe den Ansatz mit Symmetrie auf.
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Musterlösung: Wegen der Symmetrie lautet der Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) mit drei Unbekannten. \(f(-2)=0\) ist wegen \(f(-x)=f(x)\) dieselbe Gleichung wie \(f(2)=0\). Es bleiben nur zwei unabhängige Gleichungen \(16a+4b+c=0\) und \(c=4\) — die Funktion ist nicht eindeutig bestimmt; eine dritte Bedingung fehlt.
Begründe, warum man für den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene den Sinus statt des Kosinus verwendet.
Hinweis: Zeichne Gerade, Ebene und Normalenvektor in eine Skizze.
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Musterlösung: Mit dem Skalarprodukt erhält man den Winkel \(\beta\) zwischen Richtungsvektor \(\vec u\) und Normalenvektor \(\vec n\). Da \(\vec n\) senkrecht auf der Ebene steht, ist der gesuchte Winkel \(\alpha=90^\circ-\beta\). Wegen \(\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\) steht in der Formel direkt \(\sin\alpha\).
Zeige, dass das Dreieck mit \(A(1\,|\,0\,|\,0)\), \(B(0\,|\,1\,|\,0)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,1)\) gleichseitig ist, und gib seinen Flächeninhalt an.
Hinweis: Berechne alle drei Seitenlängen.
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Musterlösung: \(\overrightarrow{AB}=(-1\,|\,1\,|\,0)\), \(\overrightarrow{BC}=(0\,|\,-1\,|\,1)\), \(\overrightarrow{CA}=(1\,|\,0\,|\,-1)\) haben jeweils den Betrag \(\sqrt2\) — das Dreieck ist gleichseitig. Flächeninhalt: \(\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot(\sqrt2)^2=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87\) FE.
Begründe, dass zwei windschiefe Geraden nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen können.
Hinweis: Was passiert mit zwei Geraden, die in derselben Ebene liegen?
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Musterlösung: Angenommen, zwei Geraden liegen in einer Ebene. In einer Ebene sind zwei Geraden entweder parallel (auch identisch) oder sie schneiden sich. Windschief heißt aber: weder parallel noch schneidend. Das ist ein Widerspruch — windschiefe Geraden spannen keine gemeinsame Ebene auf.
Beurteile die Aussage: „Das 95-%-Konfidenzintervall \([0{,}257;\,0{,}347]\) enthält den wahren Anteil \(p\) mit Wahrscheinlichkeit 95 %.“
Hinweis: Was ist hier zufällig — \(p\) oder das Intervall?
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Musterlösung: Streng genommen ist die Aussage ungenau. \(p\) ist fest und liegt entweder im berechneten Intervall oder nicht. Die 95 % beschreiben das Verfahren: Würde man sehr viele Stichproben ziehen und jedes Mal so ein Intervall bestimmen, enthielten etwa 95 % dieser Intervalle das wahre \(p\).
Begründe, dass sich die Länge eines Konfidenzintervalls etwa halbiert, wenn der Stichprobenumfang vervierfacht wird.
Hinweis: Schau auf die Näherung \(h\pm1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\).
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Musterlösung: Die Halbbreite ist näherungsweise \(1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\). Bei \(4n\) statt \(n\) und etwa gleichem \(h\) wird daraus \(1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{4n}}=\frac12\cdot1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\). Die Länge halbiert sich also etwa — Genauigkeit wächst nur mit \(\sqrt n\).
Beurteilen Sie, ob die Anzahl roter Kugeln beim Ziehen von 10 Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 8 roten und 12 blauen Kugeln binomialverteilt ist.
Hinweis: Prüfe die Bedingungen einer Bernoulli-Kette.
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Musterlösung: Nein. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nach jedem Zug (erst \(\frac{8}{20}=0{,}4\), nach einer roten Kugel \(\frac{7}{19}\approx0{,}37\)); die Züge sind nicht unabhängig. Da die Hälfte der Urne gezogen wird, ist auch die Näherung durch eine Binomialverteilung nicht angemessen — hier gilt die hypergeometrische Verteilung.