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Übung — AFB II (Zusammenhänge)

Zehn Aufgaben mit Sachkontext — hier müssen Ableitung, Integral, Vektoren und Verteilungen zusammenarbeiten.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben quer durch das Abitur: erst die Situation in Mathematik übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Wasserbecken
AFB II

Der Zufluss in ein Becken wird für \(0\le t\le4\) durch \(r(t)=-3t^2+12t\) beschrieben (\(t\) in h, \(r\) in m³/h). Zu Beginn sind 10 m³ im Becken.

a) Bestimme den Zeitpunkt des stärksten Zuflusses. b) Berechne die Wassermenge nach 4 Stunden.

h
m³
Ansatz: Stärkster Zufluss: Maximum von \(r\), also \(r'(t)=0\). Bestand: \(B(4)=B(0)+\int_0^4 r(t)\,dt\).
Rechenweg: \(r'(t)=-6t+12=0\Rightarrow t=2\); \(\int_0^4(-3t^2+12t)\,dt=\left[-t^3+6t^2\right]_0^4=32\).
Lösung: a) 2 h b) 42 m³
Vollständige Lösung
Der Zufluss ist maximal, wo \(r'(t)=-6t+12=0\), also nach \(t=2\) h (Hochpunkt, da \(r''=-6<0\)). Die Wassermenge ist \(B(4)=10+\int_0^4(-3t^2+12t)\,dt=10+(-64+96)=42\) m³.
A2
Medikament im Blut
AFB II

Die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut wird durch \(c(t)=20t\cdot e^{-0{,}5t}\) beschrieben (\(t\) in h, \(c\) in mg/l).

a) Bestimme den Zeitpunkt der höchsten Konzentration. b) Berechne diese Konzentration auf zwei Nachkommastellen.

h
mg/l
Ansatz: Produktregel und Kettenregel: \(c'(t)=20e^{-0{,}5t}+20t\cdot(-0{,}5)e^{-0{,}5t}\).
Rechenweg: \(c'(t)=20e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)=0\Rightarrow t=2\); \(c(2)=40e^{-1}\).
Lösung: a) 2 h b) 14,72 mg/l
Vollständige Lösung
Mit Produkt- und Kettenregel ist \(c'(t)=20e^{-0{,}5t}\,(1-0{,}5t)\). Da \(e^{-0{,}5t}>0\), gilt \(c'(t)=0\) nur für \(t=2\); dort wechselt \(c'\) von \(+\) nach \(-\). Die höchste Konzentration ist \(c(2)=40\cdot e^{-1}\approx14{,}72\) mg/l.
A3
Tee kühlt ab
AFB II

Die Temperatur einer Tasse Tee wird durch \(f(t)=20+70\,e^{-0{,}05t}\) beschrieben (\(t\) in min, \(f\) in °C).

a) Berechne die Temperatur nach 10 Minuten. b) Bestimme, wann der Tee nur noch 40 °C warm ist.

°C
min
Ansatz: a) einsetzen. b) \(f(t)=40\) setzen, den e-Term isolieren und logarithmieren.
Rechenweg: \(70e^{-0{,}05t}=20\Rightarrow e^{-0{,}05t}=\tfrac27\Rightarrow t=\dfrac{\ln(3{,}5)}{0{,}05}\).
Lösung: a) 62,46 °C b) 25,06 min
Vollständige Lösung
a) \(f(10)=20+70e^{-0{,}5}\approx62{,}46\) °C. b) \(20+70e^{-0{,}05t}=40\iff e^{-0{,}05t}=\tfrac27\iff-0{,}05t=\ln\tfrac27\iff t=\dfrac{\ln3{,}5}{0{,}05}\approx25{,}06\) min.
A4
Parabelschar
AFB II

Gegeben ist die Schar \(f_a(x)=x^2-2ax+3\) mit \(a>0\).

a) Bestimme \(a\) so, dass der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (zwei Nachkommastellen). b) Gib die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts für \(a=2\) an.

Ansatz: Scheitel über \(f_a'(x)=2x-2a=0\): \(S(a\,|\,3-a^2)\).
Rechenweg: a) \(3-a^2=0\Rightarrow a=\sqrt3\). b) \(3-2^2\).
Lösung: a) \(a=\sqrt3\approx1{,}73\) b) \(-1\)
Vollständige Lösung
Aus \(f_a'(x)=2x-2a=0\) folgt \(x=a\) und \(f_a(a)=a^2-2a^2+3=3-a^2\), also \(S_a(a\,|\,3-a^2)\). a) \(3-a^2=0\) liefert mit \(a>0\): \(a=\sqrt3\approx1{,}73\). b) \(3-4=-1\). Die Scheitel liegen auf der Ortskurve \(y=3-x^2\).
A5
Parabel durch drei Punkte
AFB II

Eine Parabel \(f(x)=ax^2+bx+c\) verläuft durch \(P(0\,|\,1)\), \(Q(1\,|\,2)\) und \(R(2\,|\,7)\).

Bestimme a) \(a\) und b) \(b\) mit dem Gauß-Verfahren.

Ansatz: Drei Punktbedingungen einsetzen; \(P\) liefert sofort \(c=1\).
Rechenweg: \(a+b=1\) und \(4a+2b=6\); zweite minus zweimal erste: \(2a=4\).
Lösung: a) 2 b) −1
Vollständige Lösung
I: \(c=1\); II: \(a+b+c=2\); III: \(4a+2b+c=7\). Mit \(c=1\): \(a+b=1\), \(4a+2b=6\). III′ − 2 · II′: \(2a=4\Rightarrow a=2\), dann \(b=-1\). Also \(f(x)=2x^2-x+1\); Probe \(f(2)=8-2+1=7\).
A6
Ebene und Abstand
AFB II

Eine Ebene \(E\) geht durch \(A(3\,|\,0\,|\,0)\), \(B(0\,|\,6\,|\,0)\) und \(C(0\,|\,0\,|\,2)\) und hat die Form \(2x_1+x_2+n_3x_3=6\).

a) Bestimme \(n_3\). b) Berechne den Abstand von \(P(2\,|\,2\,|\,2)\) zu \(E\) (zwei Nachkommastellen).

LE
Ansatz: a) \(C\) einsetzen. b) Hessesche Normalform mit \(\lvert\vec n\rvert=\sqrt{2^2+1^2+3^2}\).
Rechenweg: a) \(n_3\cdot2=6\). b) \(d=\dfrac{\lvert4+2+6-6\rvert}{\sqrt{14}}\).
Lösung: a) 3 b) 1,60 LE
Vollständige Lösung
a) \(C\) liegt in \(E\): \(2n_3=6\Rightarrow n_3=3\); Probe mit \(A\) und \(B\): \(6=6\). b) \(d(P,E)=\dfrac{\lvert2\cdot2+2+3\cdot2-6\rvert}{\sqrt{14}}=\dfrac{6}{\sqrt{14}}\approx1{,}60\) LE.
A7
Zwei Seilbahnen
AFB II

Die Tragseile zweier Bahnen verlaufen entlang \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\).

a) Die Geraden schneiden sich. Bestimme den Parameter \(s\) des Schnittpunkts. b) Berechne den Schnittwinkel in Grad.

°
Ansatz: Gleichsetzen: \(1+r=s\), \(r=1-s\), \(2=1+s\).
Rechenweg: Dritte Zeile: \(s=1\), damit \(r=0\); Skalarprodukt der Richtungsvektoren \(1-1+0=0\).
Lösung: a) 1 b) 90°
Vollständige Lösung
Aus der dritten Zeile \(2=1+s\) folgt \(s=1\), aus der zweiten \(r=0\); die erste Zeile stimmt: \(1=1\). Schnittpunkt \(S(1\,|\,0\,|\,2)\). Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist \(1-1+0=0\), die Seile kreuzen sich also unter 90°.
A8
Schnelltest
AFB II

2 % einer Gruppe sind infiziert. Ein Test erkennt eine Infektion mit 95 % Wahrscheinlichkeit; bei Gesunden zeigt er mit 4 % Wahrscheinlichkeit fälschlich „positiv“.

a) Berechne \(P(\text{positiv})\) auf vier Nachkommastellen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person infiziert ist (zwei Nachkommastellen).

Ansatz: Baum mit erster Stufe infiziert/gesund, dann Pfadregeln; b) ist eine umgekehrte Bedingung.
Rechenweg: a) \(0{,}02\cdot0{,}95+0{,}98\cdot0{,}04\). b) \(0{,}019:0{,}0582\).
Lösung: a) 0,0582 b) 0,33
Vollständige Lösung
a) \(P(T)=0{,}019+0{,}0392=0{,}0582\). b) \(P_T(I)=\dfrac{P(I\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}0582}\approx0{,}33\). Nur etwa jede dritte positiv getestete Person ist infiziert, weil die Gesunden die große Mehrheit sind.
A9
Keimende Samen
AFB II

Ein Samen keimt mit Wahrscheinlichkeit 0,9, unabhängig von den anderen. Es werden 20 Samen gesät.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle keimen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 18 keimen (je drei Nachkommastellen).

Ansatz: Binomialverteilung mit \(n=20\), \(p=0{,}9\); „mindestens“ über das Gegenereignis oder direkt kumuliert.
Rechenweg: a) \(0{,}9^{20}\). b) \(1-P(X\le17)\); fx-CG50: Bcd mit Lower 18, Upper 20.
Lösung: a) 0,122 b) 0,677
Vollständige Lösung
a) \(P(X=20)=0{,}9^{20}\approx0{,}122\). b) \(P(X\ge18)=P(X=18)+P(X=19)+P(X=20)\approx0{,}285+0{,}270+0{,}122=0{,}677\) bzw. \(1-P(X\le17)\approx0{,}677\).
A10
Abfüllanlage
AFB II

Die Füllmenge einer Maschine ist normalverteilt mit \(\mu=500\) g und \(\sigma=4\) g.

a) Berechne den Anteil der Packungen mit weniger als 492 g (drei Nachkommastellen). b) Bestimme die Füllmenge, die von 95 % der Packungen überschritten wird (eine Nachkommastelle).

g
Ansatz: a) \(492=\mu-2\sigma\). b) Gesucht ist das 5-%-Quantil: inverse Normalverteilung.
Rechenweg: a) \(\text{normCdf}(-\infty,492,500,4)\). b) \(\text{invNorm}(0{,}05,500,4)\); fx-CG50: F3 (InvN) mit Tail Left.
Lösung: a) 0,023 b) 493,4 g
Vollständige Lösung
a) \(P(X<492)\approx0{,}023\) — gut 2 % der Packungen. b) Gesucht ist \(x\) mit \(P(X\le x)=0{,}05\): \(x=\text{invNorm}(0{,}05,500,4)\approx500-1{,}645\cdot4\approx493{,}4\) g.