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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben aus allen drei Sachgebieten — wer sie sicher löst, hat die ersten Bewertungseinheiten im Abitur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben quer durch Analysis, Geometrie und Stochastik: Regel kennen, anwenden, ausrechnen — so wie im Teil A der Abiturprüfung.

A1
Ableitung an einer Stelle
AFB I

Gegeben ist \(f(x)=x^3-6x^2+9x\). Berechne \(f'(2)\).

Potenzregel: \(\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\), also \(f'(x)=3x^2-12x+9\).
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\(f'(2)=12-24+9\) = −3
A2
Bestimmtes Integral
AFB I

Berechne \(\int_0^2\left(3x^2+2x\right)dx\) ohne Rechner.

Hauptsatz: Stammfunktion \(F(x)=x^3+x^2\), dann \(F(2)-F(0)\).
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\(\left[x^3+x^2\right]_0^2=8+4-0\) = 12
A3
Exponentialgleichung
AFB I

Löse \(e^{2x}=9\). Runde auf zwei Nachkommastellen.

Logarithmus: \(e^{u}=a\iff u=\ln a\).
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\(2x=\ln9\Rightarrow x=\tfrac12\ln9=\ln3\approx1{,}0986\) = 1,10
A4
Produktregel
AFB I

Gegeben ist \(f(x)=x\cdot e^x\). Berechne \(f'(0)\).

Produktregel: \((u\cdot v)'=u'v+uv'\) mit \(u=x\), \(v=e^x\).
Lösung anzeigen
\(f'(x)=(1+x)\,e^x\), also \(f'(0)=1\cdot e^0\) = 1
A5
Betrag eines Vektors
AFB I

Berechne die Länge von \(\vec v=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\).

LE
Betrag: \(\lvert\vec v\rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\).
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\(\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}\) = 7
A6
Skalarprodukt
AFB I

Berechne \(\vec u\cdot\vec v\) für \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec v=\begin{pmatrix}4\\1\\3\end{pmatrix}\).

Skalarprodukt: \(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\); ist es 0, sind die Vektoren orthogonal.
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\(4+2-6\) — die Vektoren stehen senkrecht aufeinander = 0
A7
Spurpunkt einer Ebene
AFB I

Die Ebene \(E:\ 3x_1+2x_2+x_3=12\) schneidet die \(x_1\)-Achse im Punkt \(S(s\,|\,0\,|\,0)\). Gib \(s\) an.

Spurpunkt: Auf der \(x_1\)-Achse gilt \(x_2=x_3=0\).
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\(3s=12\) = 4
A8
Binomialwahrscheinlichkeit
AFB I

Eine faire Münze wird 10-mal geworfen. Berechne \(P(X=5)\) für die Anzahl \(X\) der Köpfe auf drei Nachkommastellen.

Bernoulli-Formel: \(P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\); fx-CG50: F5 (DIST) → F5 (BINOMIAL) → F1 (Bpd).
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\(\binom{10}{5}\cdot0{,}5^{10}=\frac{252}{1024}\approx0{,}2461\) = 0,246
A9
Erwartungswert
AFB I

\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=50\) und \(p=0{,}3\). Gib den Erwartungswert an.

Kenngröße: \(\mu=n\cdot p\).
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\(50\cdot0{,}3\) = 15
A10
Normalverteilung
AFB I

Die Masse eines Brotes ist normalverteilt mit \(\mu=500\) g und \(\sigma=10\) g. Berechne \(P(490\le X\le510)\) auf drei Nachkommastellen.

Rechner: TI-Nspire CAS: \(\text{normCdf}(490,510,500,10)\) — das ist die \(1\sigma\)-Umgebung.
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\(P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx0{,}6827\) = 0,683