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Probeklausur

Eine Probeklausur quer durch das Abitur-Pensum mit 50 Punkten in 120 Minuten — mit Auswertung und Note.

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Bearbeitungszeit120 Minuten
AFB I

Wissen und Reproduzieren

16 Punkte
A1
Ohne Rechner rechnen
AFB I 4 Punkte

Berechne ohne Hilfsmittel.

a) f(x) = 2x³ − 4x; berechne f′(1) 1 P
b) ∫₁³ 2x dx 1 P
c) g(x) = e^(−2x); berechne g′(0) 1 P
d) Löse ln x = 2 (zwei Nachkommastellen) 1 P
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Erwartungshorizont: a) f′(x) = 6x² − 4, f′(1) = 2 b) [x²]₁³ = 9 − 1 = 8 c) g′(x) = −2e^(−2x), g′(0) = −2 d) x = e² ≈ 7,39 (je 1 P).

A2
Strecke im Raum
AFB I 4 Punkte

Gegeben sind A(2 | 1 | 0) und B(4 | 3 | 1) sowie u = (1 | 2 | 2) und v = (2 | −2 | 1).

a) Länge der Strecke AB 2 P
LE
b) x₁-Koordinate des Mittelpunkts von AB 1 P
c) u · v 1 P
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Erwartungshorizont: a) AB = (2 | 2 | 1), |AB| = √9 = 3 (2 P) b) (2 + 4) : 2 = 3 (1 P) c) 2 − 4 + 2 = 0, u ⟂ v (1 P).

A3
Eigenschaften einer Ebene
AFB I 4 Punkte

Gegeben ist die Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6.

Welche Aussagen sind richtig? (mehrere Antworten richtig) 4 P
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Erwartungshorizont: P: 6 = 6 ✓; Normalenvektor aus den Koeffizienten ✓; Abstand |−6| : 3 = 2, nicht 3; E ist nicht parallel zur x₁x₂-Ebene (dazu müsste n = (0 | 0 | c) sein). Je richtige Auswahl 2 P, je Fehlklick 2 P Abzug.

A4
Glücksrad
AFB I 4 Punkte

Ein Glücksrad zeigt mit Wahrscheinlichkeit 0,25 „Gewinn“. Es wird 20-mal gedreht; X ist die Anzahl der Gewinne.

a) Erwartungswert von X 1 P
b) P(X = 5) (drei Nachkommastellen) 1 P
c) P(X ≤ 3) (drei Nachkommastellen) 2 P
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Erwartungshorizont: a) μ = 20 · 0,25 = 5 (1 P) b) binomPdf(20, 0.25, 5) ≈ 0,202 (1 P) c) binomCdf(20, 0.25, 0, 3) ≈ 0,225 (2 P).

AFB II

Zusammenhänge herstellen

22 Punkte
A5
Zufluss eines Speichers
AFB II 6 Punkte

Die Zuflussrate in einen Wasserspeicher wird für 0 ≤ t ≤ 6 durch r(t) = t² − 8t + 12 beschrieben (t in Tagen, r in 1000 m³ pro Tag; negative Werte bedeuten Abfluss).

a) Zeitpunkt des stärksten Abflusses 2 P
d
b) Zeitpunkt, zu dem am meisten Wasser im Speicher ist 2 P
d
c) Änderung der Wassermenge von t = 0 bis t = 6 (in 1000 m³) 2 P
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Erwartungshorizont: a) r′(t) = 2t − 8 = 0 ⇒ t = 4 (Tiefpunkt von r) (2 P) b) r wechselt bei t = 2 von + nach −, bis t = 6 bleibt r ≤ 0 ⇒ Maximum bei t = 2 (2 P) c) [t³ : 3 − 4t² + 12t]₀⁶ = 72 − 144 + 72 = 0 — nach 6 Tagen ist wieder genauso viel Wasser im Speicher wie zu Beginn (2 P).

A6
Downloads einer App
AFB II 6 Punkte

Die Downloadrate einer neuen App wird durch d(t) = 500 · t · e^(−0,5t) beschrieben (t in Stunden nach Veröffentlichung, d in Downloads pro Stunde).

a) Zeitpunkt der höchsten Downloadrate 2 P
h
b) höchste Downloadrate (ganzzahlig) 2 P
pro h
c) Zeitpunkt nach dem Maximum, ab dem die Rate unter 100 pro Stunde liegt (zwei Nachkommastellen) 2 P
h
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Erwartungshorizont: a) d′(t) = 500e^(−0,5t)(1 − 0,5t) = 0 ⇒ t = 2 (2 P) b) d(2) = 1000 : e ≈ 368 (2 P) c) GTR: Schnitt von d mit y = 100 rechts vom Maximum, t ≈ 7,15 h (2 P).

A7
Gerade trifft Ebene
AFB II 5 Punkte

Gegeben sind g: x = (2 | 0 | 1) + r · (1 | 1 | 1) und E: x₁ + x₂ + x₃ = 9.

a) x₁-Koordinate des Schnittpunkts von g und E 2 P
b) Abstand des Punktes P(2 | 0 | 1) von E (zwei Nachkommastellen) 3 P
LE
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Erwartungshorizont: a) (2 + r) + r + (1 + r) = 9 ⇒ 3r = 6 ⇒ r = 2, S(4 | 2 | 3) (2 P) b) d = |2 + 0 + 1 − 9| : √3 = 6 : √3 ≈ 3,46 LE (3 P). Da der Richtungsvektor von g ein Normalenvektor von E ist, steht g senkrecht auf E.

A8
Körpergrößen
AFB II 5 Punkte

Die Körpergröße erwachsener Personen einer Region ist normalverteilt mit μ = 170 cm und σ = 8 cm.

a) Anteil der Personen, die größer als 180 cm sind (drei Nachkommastellen) 2 P
b) Größe, die 90 % der Personen nicht überschreiten (eine Nachkommastelle) 3 P
cm
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Erwartungshorizont: a) P(X > 180) = normCdf(180, ∞, 170, 8) ≈ 0,106 (2 P) b) invNorm(0.9, 170, 8) ≈ 180,3 cm (3 P).

AFB III

Verallgemeinern und Reflektieren

12 Punkte
A9
Parabelschar untersuchen
AFB III 6 Punkte

Gegeben ist die Schar fa(x) = x² − a · x mit a > 0.

a) Für welches a liegt der Scheitelpunkt auf der Höhe y = −4? 2 P
b) Auf welcher Kurve liegen alle Scheitelpunkte? (eine Antwort richtig) 2 P
c) Welche Aussage trifft auf alle Graphen der Schar zu? (eine Antwort richtig) 2 P
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Erwartungshorizont: a) S(a : 2 | −a² : 4); −a² : 4 = −4 ⇒ a = 4 (2 P) b) x = a : 2 ⇒ a = 2x ⇒ y = −(2x)² : 4 = −x² (2 P) c) fa(0) = 0 für alle a (2 P).

A10
Umfrage auswerten
AFB III 6 Punkte

Bei einer Umfrage unter 500 zufällig ausgewählten Personen nutzen 150 regelmäßig das Fahrrad (h = 0,3).

a) Untere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für den Anteil p (drei Nachkommastellen) 3 P
b) Welche Deutung ist richtig? (eine Antwort richtig) 3 P
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Erwartungshorizont: a) |0,3 − p| ≤ 1,96 · √(p(1 − p) : 500) ⇒ 1,00768p² − 0,60768p + 0,09 ≤ 0 ⇒ 0,261 ≤ p ≤ 0,342 (3 P) b) Die Sicherheit beschreibt das Verfahren (3 P).

Ergebnis

Erreicht
0 / 50
Prozent
0 %
Note
—
AufgabeThemaPunkte

Notenschema

PunkteNoteBeurteilung
46 – 50 P1sehr gut (13 – 15 NP)
40 – 45 P2gut (10 – 12 NP)
30 – 39 P3befriedigend (7 – 9 NP)
22 – 29 P4ausreichend (4 – 6 NP)
12 – 21 P5mangelhaft (1 – 3 NP)
0 – 11 P6ungenügend (0 NP)