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Normalverteilung im Abitur

Füllmengen und Wahlumfragen — zwei Aufgaben zur Normalverteilung und zum Konfidenzintervall.

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Kaffeeautomat

AFB I–II

Ein Kaffeeautomat füllt Becher. Die Füllmenge ist normalverteilt mit \(\mu=250\) ml und \(\sigma=1{,}5\) ml. Becher mit weniger als 247 ml gelten als unterfüllt.

  1. Skizzieren Sie den Graphen der Dichtefunktion und markieren Sie den Bereich der unterfüllten Becher.
  2. Berechnen Sie den Anteil der unterfüllten Becher.
  3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Becher zwischen 248 und 252 ml enthält.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Glocke um 250, Wendestellen bei 248,5 und 251,5.
Hinweis zu Aufgabe b)
normCdf mit Obergrenze 247.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei Grenzen, beide symmetrisch zu μ.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Glockenkurve mit Maximum bei 250, Wendestellen bei 248,5 und 251,5; der Bereich links von 247 (also \(\mu-2\sigma\)) ist schraffiert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X<247)=\text{normCdf}(-\infty;247;250;1{,}5)\approx0{,}023\): etwa 2,3 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(248\le X\le252)\approx0{,}818\).

2

Wahlumfrage

AFB II–III

Vor einer Bürgermeisterwahl wurden 1000 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte befragt; 420 wollen Kandidatin A wählen. Eine Zeitung titelt: „Kandidatin A erreicht sicher weniger als 45 %.“

  1. Bestimmen Sie ein 95-%-Konfidenzintervall für den Stimmenanteil \(p\) von A.
  2. Erläutern Sie die Bedeutung der 95 % in diesem Zusammenhang.
  3. Beurteilen Sie die Schlagzeile der Zeitung.
  4. Entwickeln Sie einen Vorschlag, wie man die Aussage schärfer machen könnte, und schätzen Sie den nötigen Umfang ab.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Ansatz \(\lvert h-p\rvert\le1{,}96\sqrt{p(1-p)/n}\), mit dem Rechner lösen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Was wäre, wenn man die Umfrage oft wiederholt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Liegt 0,45 im Intervall?
Hinweis zu Aufgabe d)
Die Länge schrumpft mit \(\sqrt n\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(h=0{,}42\). \((0{,}42-p)^2\le\tfrac{1{,}96^2}{1000}p(1-p)\) liefert \(0{,}390\le p\le0{,}451\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Würde man sehr viele solche Umfragen durchführen und jeweils so ein Intervall berechnen, enthielten etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Anteil \(p\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die obere Grenze liegt knapp über 0,45. Ein Anteil von 45 % ist mit dem Ergebnis verträglich — „sicher weniger als 45 %“ lässt sich nicht behaupten. Außerdem gibt es keine hundertprozentige Sicherheit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die halbe Länge beträgt etwa \(1{,}96\sqrt{0{,}42\cdot0{,}58/n}\). Damit die obere Grenze unter 0,45 liegt, muss sie kleiner als 0,03 werden: \(n>\tfrac{1{,}96^2\cdot0{,}2436}{0{,}03^2}\approx1040\) — bei gleichem \(h\) reichen schon etwa 1100 Befragte, sicherer wären deutlich mehr.