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Normalverteilung im Abitur

Aus vielen Treppenstufen wird eine glatte Glocke — und mit ihr lässt sich rückwärts auf einen unbekannten Anteil schließen.

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Stetig statt diskret

Füllmengen, Körpergrößen, Messfehler: Eine stetige Zufallsgröße kann jeden Wert eines Intervalls annehmen. Wahrscheinlichkeiten sind dann Flächen unter einer Dichtefunktion.

  • Dichte:\(\varphi_{\mu;\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) — Maximum bei \(\mu\), Wendestellen bei \(\mu\pm\sigma\).
  • Fläche:\(P(a\le X\le b)=\int_a^b\varphi_{\mu;\sigma}(x)\,dx\); ein einzelner Wert hat die Wahrscheinlichkeit 0.
  • Näherung:Ist \(\sigma>3\), passt die Glocke mit \(\mu=np\) und \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) gut zu \(B(n;p)\).
  • Rechner:fx-CG50: MENU 2, F5 (DIST), F1 (NORM), F2 (Ncd) · TI-Nspire CAS: menu → 5 Wahrscheinlichkeit → 5 Verteilungen → Normal Cdf, also \(\text{normCdf}(a,b,\mu,\sigma)\).

Stelle \(n\) und \(p\) ein und starte mit ▶. Die Balken zeigen, wie oft jede Trefferzahl vorkam, die dunklen Striche die Binomialverteilung. „Glocke“ blendet die Dichte der Normalverteilung mit demselben \(\mu\) und \(\sigma\) ein; grün hinterlegt ist das 95-%-Intervall.

Stichproben simulieren

Halte fest: Für \(\sigma>3\) liegt die Glocke fast genau auf den Balkenspitzen. Rund 95 % der Stichproben landen im Intervall \(\mu\pm1{,}96\sigma\).

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Prognose- und Konfidenzintervall

  • Prognose:\(p\) ist bekannt → Intervall, in dem die Trefferzahl mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt.
  • Konfidenz:nur die Quote \(h\) ist bekannt → alle \(p\), mit denen \(h\) verträglich ist.
  • Deutung:Von vielen so bestimmten 95-%-Intervallen enthalten etwa 95 % das wahre \(p\).
  • Länge:wächst mit der Sicherheit und halbiert sich bei vierfachem Stichprobenumfang.

Bei einer Umfrage unter 400 Personen sind 120 für ein Projekt, also \(h=0{,}3\). Welche Anteile \(p\) sind mit 95 % Sicherheit verträglich?

Herleitung:

\(\lvert0{,}3-p\rvert\le1{,}96\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{400}}\)
| Ansatz
\(h\) liegt im 95-%-Prognoseintervall der Quote um \(p\).
\((0{,}3-p)^2\le0{,}009604\cdot p(1-p)\)
| quadrieren
\(1{,}96^2:400=0{,}009604\).
\(1{,}009604\,p^2-0{,}609604\,p+0{,}09\le0\)
| ordnen
Alles auf eine Seite bringen.
\(p_1\approx0{,}2572,\quad p_2\approx0{,}3466\)
| lösen
Nullstellen der Parabel mit der Lösungsformel oder dem Rechner.
\(0{,}257\le p\le0{,}347\)
Ergebnis
Mit 95 % Sicherheit liegt der Anteil zwischen etwa 25,7 % und 34,7 % — nach außen gerundet.
Merke

95-%-Konfidenzintervall: alle \(p\) mit \(\lvert h-p\rvert\le1{,}96\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\)

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Allgemeine Hinweise

Prognose oder Konfidenz?

Ist \(p\) gegeben, wird eine Trefferzahl vorhergesagt. Ist nur das Stichprobenergebnis bekannt, wird \(p\) geschätzt — das ist das Konfidenzintervall.

Grenzen bei stetigen Größen

Bei der Normalverteilung ist \(P(X\le a)=P(X\lt a)\). Bei der Binomialverteilung macht die Grenze dagegen einen Unterschied.

Die Bedingung mitschreiben

Vor jeder Näherung \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\) ausrechnen und notieren, dass \(\sigma>3\) gilt. Das begründet, warum die Glocke benutzt werden darf.

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