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LGS und Gauß-Verfahren

Bedingungen aufstellen, Treppe bauen, rückwärts einsetzen: zehn Übungen zum Gauß-Verfahren.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Bedingungen übersetzen
AFB I

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Welche Übersetzungen sind richtig?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Steigung gehört zu f′, Punktsymmetrie streicht die geraden Exponenten (b und d), und „berühren“ liefert zwei Gleichungen: f(2) = 0 und f′(2) = 0.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über lineare Gleichungssysteme.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Äquivalenzumformungen: Zeilen tauschen, mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren, Vielfache addieren.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Gauß-Verfahren bringt man das LGS auf . Dabei wird in jedem Schritt eine Unbekannte . Anschließend setzt man ein. Eine Zeile wie 0 = 3 ist ein . Bei Steckbriefaufgaben liefert der Text die

Die „Stammfunktion“ gehört zur Integralrechnung, nicht zum Lösen von LGS.
A4
Wie viele Lösungen?
AFB I

Ordne die Stufenformen der Anzahl der Lösungen zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1genau eine
2keine
3unendlich viele
Entscheidend ist die letzte Zeile: Widerspruch → keine Lösung, 0 = 0 → eine Unbekannte frei wählbar.
A5
Blitzrechnung
AFB I

Löse: x + y + z = 6, y + z = 5, z = 3. Gib x an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Rückwärts: z = 3, y = 2, x = 6 − 2 − 3 = 1. Trick: Die erste minus die zweite Gleichung liefert x sofort.
A6
Steckbrief lösen
AFB II

Eine Parabel hat den Scheitel S(2 | 1) und geht durch P(0 | 5). Bringe die Schritte in die Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ansatz f(x) = ax² + bx + c
2Bedingungen: f(2) = 1, f′(2) = 0, f(0) = 5
3LGS: 4a + 2b + c = 1, 4a + b = 0, c = 5
4Lösen: a = 1, b = −4
5Probe: f(x) = x² − 4x + 5 hat den Scheitel (2 | 1)
Die Ableitungsbedingung f′(2) = 0 wird am häufigsten vergessen — der Scheitel ist ein Extrempunkt.
A7
Rechenkette
AFB II

Gauß-Verfahren: I: x + y + z = 2, II: 2x + y − z = 2, III: x − y + 2z = 5.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. II − 2 · I ergibt −y − 3z = …
  2. III − I ergibt −2y + z = …
  3. Nach Elimination von y: z =
  4. Lösung x =
(III − I) − 2 · (II − 2 · I): 7z = 7 ⇒ z = 1; dann −y − 3 = −2 ⇒ y = −1 und x = 2 − (−1) − 1 = 2. Probe in allen drei Originalgleichungen.
A8
Text und Gleichung
AFB II

Ordne jeder Aussage über f(x) = ax³ + bx² + cx + d die passende Gleichung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
f′(1) = 3a + 2b + c und f″(1) = 6a + 2b — beim Einsetzen die Ableitungen zuerst allgemein bilden.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Grad n braucht n + 1 Bedingungen — ein Klassiker bei Steckbriefaufgaben.
A10
Was passiert mit der Lösung?
AFB III

Im LGS x + y = 10, x − y = 2 wird jeweils etwas geändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = x wird kleiner, 2 = keine Lösung mehr, 3 = x bleibt gleich, 4 = x wird größer, 5 = unendlich viele Lösungen. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = x wird kleiner5 = unendlich viele Lösungen
Die rechte Seite 10 wird zu 12
Die zweite Gleichung wird zu 2x − 2y = 4
Die zweite Gleichung wird zu x + y = 3
Die zweite Gleichung wird zu 2x + 2y = 20
Die rechte Seite 2 wird zu 0
Vielfache einer Gleichung ändern nichts, parallele Geraden (gleiche linke Seite, andere rechte) haben keinen Schnittpunkt, identische unendlich viele.