MINT lernen

LGS und Gauß-Verfahren

Aus Bedingungen werden Gleichungen — und nicht jedes System hat genau eine Lösung.

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Skaterbowl

AFB I–II

Der Querschnitt einer Skaterbowl soll durch eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) beschrieben werden (\(x\) und \(f(x)\) in Metern). Der tiefste Punkt liegt bei \(T(0\,|\,0)\), der Rand bei \(R(3\,|\,2)\) soll waagerecht auslaufen.

  1. Begründen Sie, warum der Ansatz nur gerade Potenzen enthält.
  2. Stellen Sie das Gleichungssystem für \(a\), \(b\), \(c\) auf.
  3. Lösen Sie das Gleichungssystem und geben Sie \(f\) an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achsensymmetrie: f(−x) = f(x).
Hinweis zu Aufgabe b)
T liefert c; R liefert zwei Gleichungen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zweite Gleichung nach b auflösen, einsetzen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Bowl ist symmetrisch zur y-Achse; es muss \(f(-x)=f(x)\) gelten. Das ist nur erfüllt, wenn keine ungeraden Potenzen vorkommen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(f(0)=0\Rightarrow c=0\); \(f(3)=2\Rightarrow81a+9b=2\); \(f'(3)=0\) mit \(f'(x)=4ax^3+2bx\Rightarrow108a+6b=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(b=-18a\); \(81a-162a=2\Rightarrow a=-\tfrac{2}{81}\), \(b=\tfrac{36}{81}=\tfrac49\). \(f(x)=-\tfrac{2}{81}x^4+\tfrac49x^2\). Probe: \(f(3)=-2+4=2\), \(f'(3)=-\tfrac{8}{3}+\tfrac{8}{3}=0\).

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Verkehrszählung

AFB II–III

An einer Kreuzung wird der Verkehr modelliert. In den Knoten A, B, C fließen pro Stunde \(x\), \(y\), \(z\) Fahrzeuge über drei Verbindungsstraßen. Aus Zählungen ergeben sich die Gleichungen \(\text{I: }x+y=700\), \(\text{II: }y+z=500\), \(\text{III: }x-z=200\). Ein Planer meint: „Mit drei Gleichungen für drei Unbekannte ist der Verkehr eindeutig bestimmt.“

  1. Erläutern Sie, was eine Äquivalenzumformung im Gauß-Verfahren ist.
  2. Untersuchen Sie das LGS mit dem Gauß-Verfahren auf seine Lösbarkeit.
  3. Widerlegen Sie die Aussage des Planers.
  4. Legen Sie mit einer sinnvollen Bedingung fest, welche Lösungen realistisch sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Umformungen ändern die Lösungsmenge nicht?
Hinweis zu Aufgabe b)
I − III bilden und mit II vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Drei Gleichungen sind nur dann aussagekräftig, wenn sie unabhängig sind.
Hinweis zu Aufgabe d)
Fahrzeugzahlen können nicht negativ sein.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Dabei bleibt die Lösungsmenge gleich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

I − III: \(y+z=500\) — das ist genau II. II − (I − III): \(0=0\). Das System hat unendlich viele Lösungen: \(z=t\), \(y=500-t\), \(x=200+t\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

III ist die Differenz von I und II — keine neue Information. Der Verkehr ist nur bis auf einen Parameter bestimmt; z. B. \(t=100\): \((300;400;100)\) und \(t=300\): \((500;200;300)\) erfüllen beide alle Gleichungen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Alle Werte müssen \(\ge0\) sein: \(t\ge0\), \(500-t\ge0\). Also \(0\le t\le500\); eine zusätzliche Zählung einer Straße würde \(t\) eindeutig festlegen.