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LGS und Gauß-Verfahren

Drei Bedingungen, drei Unbekannte: Der Gauß-Algorithmus macht aus dem Knäuel eine Treppe, die man rückwärts hinabsteigt.

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Vom Steckbrief zum LGS

Ein Profil — Rampe, Brücke, Straße — soll durch eine ganzrationale Funktion beschrieben werden. Jede Aussage im Text wird zu einer linearen Gleichung für die Koeffizienten.

  • Ansatz:Grad \(n\) → \(n+1\) Koeffizienten → \(n+1\) unabhängige Bedingungen.
  • Punkt:„geht durch \(P(2\,|\,3)\)“ → \(f(2)=3\).
  • Extrempunkt:„Hochpunkt \(H(1\,|\,2)\)“ → \(f(1)=2\) und \(f'(1)=0\).
  • Wendepunkt:\(f''(x_W)=0\), dazu \(f(x_W)=y_W\), wenn die Höhe bekannt ist.
  • Symmetrie:zur \(y\)-Achse → nur gerade Exponenten, zum Ursprung → nur ungerade.

Lies den Steckbrief im Applet und setze genau so viele Bausteine ins LGS, wie der Ansatz Unbekannte hat. Ein Klick auf eine Gleichung im LGS nimmt sie wieder heraus. „LGS lösen“ zeigt, ob der Graph alle Vorgaben erfüllt.

Bedingungen bauen

Bausteine — anklicken, um sie ins LGS zu setzen:

Mein LGS

    Halte fest: Jede Aussage im Text wird zu einer Gleichung. Fehlt eine oder wiederholt eine nur eine andere, ist die Lösung nicht eindeutig; ist eine falsch übersetzt, verfehlt der Graph die Vorgabe.

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    Das Gauß-Verfahren

    Im hilfsmittelfreien Teil wird ein 3×3-System von Hand gelöst. Beispiel: Die Parabel \(f(x)=ax^2+bx+c\) geht durch \(A(1\,|\,2)\), \(B(2\,|\,3)\) und \(C(3\,|\,6)\).

    Herleitung:

    \(\text{I: }a+b+c=2\quad\text{II: }4a+2b+c=3\quad\text{III: }9a+3b+c=6\)
    | Ansatz
    Die drei Punkte in \(f(x)=ax^2+bx+c\) einsetzen.
    \(\text{II}': 3a+b=1\qquad\text{III}': 8a+2b=4\)
    | II − I, III − I
    \(c\) fällt aus beiden Gleichungen heraus.
    \(2a=2\)
    | III′ − 2 · II′
    Stufenform: eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.
    \(a=1,\ b=-2,\ c=3\)
    | rückwärts einsetzen
    In II′: \(3+b=1\); in I: \(1-2+c=2\).
    \(f(x)=x^2-2x+3\)
    Ergebnis
    Probe: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\), \(f(3)=6\).
    • Lösbarkeit:Zeile \(0=0\) in der Stufenform → unendlich viele Lösungen; Zeile \(0=5\) → keine Lösung.
    • fx-CG50:MENU A (Gleichung), F1 (SIMUL), Anzahl der Unbekannten mit F2 (3) oder F3 (4), Koeffizienten je mit EXE, dann F1 (SOLVE).
    • TI-Nspire CAS:menu → 3 Algebra → 7 Gleichungssysteme lösen, oder direkt \(\text{solve}(\ldots\text{ and }\ldots,\{a,b,c\})\).
    Merke

    Stufenform: \(\begin{array}{rcl}a_1x+b_1y+c_1z&=&d_1\\ b_2y+c_2z&=&d_2\\ c_3z&=&d_3\end{array}\)

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    Allgemeine Hinweise

    Extrempunkt heißt zwei Gleichungen

    \(H(1\,|\,2)\) liefert \(f(1)=2\) und \(f'(1)=0\). Wer nur eine davon notiert, hat eine Gleichung zu wenig.

    Jede Umformung notieren

    Neben jede neue Zeile gehört die Umformung, z. B. „II − I“. So bleibt nachvollziehbar, dass keine Gleichung doppelt benutzt oder verloren wurde.

    Probe mit allen Vorgaben

    Auch Eigenschaften prüfen, die nicht im LGS stehen: Ist der Hochpunkt wirklich ein Hochpunkt, liegt er im betrachteten Intervall?

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