Funktionenscharen im Abitur: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Eigenschaften einer Schar

AFB I

Gegeben ist die Schar f_a(x) = a · x² − 4x mit a > 0. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Beim Ableiten nach x bleibt a als Faktor stehen: f_a′(x) = 2ax − 4. Für a = 1 gibt es die Nullstellen 0 und 4.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Parameter und Ortskurven.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Ortskurve, gemeinsame Punkte und Sonderfälle — das sind die drei typischen Fragen zu Scharen.

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine Funktionenschar enthält einen . Die Kurve, auf der alle Extrempunkte liegen, heißt . Man erhält sie, indem man x_E(t) nach t und einsetzt. Alle Graphen gehen durch die Punkte. Hängt die Art eines Extrempunkts vom Vorzeichen ab, braucht man eine

„Stammfunktion“ bleibt übrig — sie hat mit dem Vorgehen bei Scharen nichts zu tun.

Ansatz für die Frage

AFB I

Ordne jede Frage zur Schar f_k(x) = x² − 2kx + k dem richtigen Ansatz zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1f_k′(x) = 0

2f_k(x) = f_m(x)

3Bedingung → nach k lösen

Gemeinsame Punkte: Die Gleichung muss für alle Parameter gelten — hier −2kx + k = −2mx + m ⇒ (k − m)(1 − 2x) = 0 ⇒ x = 0,5.

Blitzrechnung

AFB I

Für welches a > 0 hat f_a(x) = x³ − a · x an der Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

f_a′(x) = 3x² − a; f_a′(2) = 12 − a = 0 ⇒ a = 12. Trick: Waagerechte Tangente heißt immer f′ = 0 — der Parameter ist dann nur die Unbekannte.

Ortskurve bestimmen

AFB II

Ortskurve der Scheitelpunkte von f_t(x) = x² − 2tx + 3: Bringe die Schritte in die Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1f_t′(x) = 2x − 2t = 0 setzen

2x_S = t

3y_S = f_t(t) = 3 − t²

4x = t in y = 3 − t² einsetzen

5Ortskurve: y = 3 − x²

Oft wird y_S vergessen: Erst beide Koordinaten in Abhängigkeit von t bestimmen, dann eliminieren.

Rechenkette

AFB II

Gegeben ist f_t(x) = −x² + 2tx (t > 0). Die Graphen begrenzen mit der x-Achse eine Fläche.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Nullstellen: die positive Nullstelle für t = 3 ist
Flächeninhalt für t = 3: FE
Allgemein ist A(t) = (4/3) · t³. Für welches t ist A = 288? t =
Scheitelhöhe für dieses t:

Die Fläche wächst mit t³: doppeltes t, achtfache Fläche. Für t = 6: ∫₀¹² (−x² + 12x) dx = −576 + 864 = 288.

Schar und Ortskurve

AFB II

Ordne jeder Schar die Ortskurve ihrer Extrem- bzw. Scheitelpunkte zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Schnelltest: Einen Parameterwert einsetzen, Scheitel ausrechnen und prüfen, ob er auf der Kurve liegt.

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Der Klassiker: In der Ortskurve steht am Ende noch der Parameter — dann ist nicht eliminiert worden.

A10

Parameter ändern

AFB III

Bei f_a(x) = a · x² − 4 wird a verändert. Wie ändert sich jeweils die Größe? Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird null, 2 = wird kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = wird größer, 5 = verdoppelt sich genau. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = wird null5 = verdoppelt sich genau

y-Achsenabschnitt, wenn a verdoppelt wird

Abstand der Nullstellen, wenn a verdoppelt wird

Steigung bei x = 1, wenn a verdoppelt wird

Scheitelhöhe, wenn a halbiert wird

Fläche zwischen Graph und x-Achse, wenn a vergrößert wird

Der Scheitel S(0 | −4) hängt nicht von a ab; die Nullstellen ±2/√a rücken bei größerem a zusammen, deshalb schrumpft die Fläche.