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Funktionenscharen im Abitur

Brückenbögen und Dosierungen: Wenn ein Parameter die ganze Kurvenfamilie steuert.

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Brückenbögen

AFB I–II

Für eine Serie von Fußgängerbrücken werden parabelförmige Bögen durch \(f_a(x)=-a\,x^2+4\) beschrieben (\(a>0\), \(x\) und \(f_a(x)\) in Metern). Der Bogen steht zwischen seinen beiden Nullstellen auf dem Boden.

  1. Beschreiben Sie, welche Eigenschaft alle Bögen gemeinsam haben und welche vom Parameter abhängt.
  2. Bestimmen Sie \(a\) für eine Brücke mit 10 m Spannweite.
  3. Stellen Sie einen Term für die Querschnittsfläche \(A(a)\) unter dem Bogen auf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Was passiert bei x = 0, was bei den Nullstellen?
Hinweis zu Aufgabe b)
Spannweite gleich 10 setzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Integral zwischen den Nullstellen, Symmetrie nutzen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Alle Bögen haben den Scheitel \(S(0\,|\,4)\), also 4 m Höhe. Die Spannweite hängt von \(a\) ab: Nullstellen \(\pm\tfrac{2}{\sqrt a}\), Spannweite \(\tfrac{4}{\sqrt a}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\tfrac{4}{\sqrt a}=10\Rightarrow\sqrt a=0{,}4\Rightarrow a=0{,}16\); \(f_{0{,}16}(x)=-0{,}16x^2+4\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(A(a)=2\int_0^{2/\sqrt a}\left(-ax^2+4\right)dx=2\left[-\tfrac a3x^3+4x\right]_0^{2/\sqrt a}=2\left(-\tfrac{8}{3\sqrt a}+\tfrac{8}{\sqrt a}\right)=\tfrac{32}{3\sqrt a}\) m².

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Wirkstoffkurven

AFB II–III

Die Konzentration eines Medikaments im Blut wird abhängig von der Dosis durch \(c_d(t)=d\cdot t\cdot e^{-0{,}5t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden, \(c\) in mg/l, Dosisparameter \(d>0\)). Eine Ärztin sagt: „Bei höherer Dosis wird die maximale Konzentration später erreicht.“

  1. Weisen Sie nach, dass \(c_d'(t)=d\cdot e^{-0{,}5t}\,(1-0{,}5t)\) gilt.
  2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts in Abhängigkeit von \(d\) und die Ortskurve der Hochpunkte.
  3. Nehmen Sie Stellung zur Aussage der Ärztin.
  4. Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem sich \(d\) so wählen lässt, dass die Konzentration höchstens 8 mg/l erreicht, und geben Sie dieses \(d\) an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Produktregel mit \(u=d\,t\), \(v=e^{-0{,}5t}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Nullstelle von \(c_d'\); gibt es etwas nach d aufzulösen?
Hinweis zu Aufgabe c)
Hängt die t-Koordinate des Hochpunkts von d ab?
Hinweis zu Aufgabe d)
Maximalwert als Funktion von d mit 8 gleichsetzen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(c_d'(t)=d\,e^{-0{,}5t}+d\,t\cdot(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=d\,e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(c_d'(t)=0\iff t=2\) (Vorzeichenwechsel \(+\to-\)). \(H_d(2\,|\,2d\,e^{-1})\). Alle Hochpunkte liegen auf der Geraden \(t=2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch: Unabhängig von der Dosis wird das Maximum nach 2 Stunden erreicht; nur seine Höhe \(\tfrac{2d}{e}\) wächst proportional zu \(d\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Maximale Konzentration \(\tfrac{2d}{e}\le8\Rightarrow d\le4e\approx10{,}87\). Vorgehen: Hochpunkt allgemein bestimmen, seine Höhe als Bedingung aufschreiben und nach \(d\) auflösen.