Funktionenscharen im Abitur

Bei einer Funktionenschar \(f_t\) rechnet man mit dem Parameter \(t\) wie mit einer festen Zahl. Die Ergebnisse hängen dann von \(t\) ab — oft mit Fallunterscheidung. Beispiel: \(f_t(x)=x^3-3tx^2\).

• Ableiten:nach \(x\); \(t\) bleibt als Faktor stehen: \(f_t'(x)=3x^2-6tx\), \(f_t''(x)=6x-6t\).
• Extremstellen:\(3x(x-2t)=0\Rightarrow x=0\) oder \(x=2t\); für \(t=0\) fallen sie zusammen.
• Art:\(f_t''(2t)=6t\): für \(t>0\) Tiefpunkt, für \(t<0\) Hochpunkt.
• Gemeinsame Punkte:\(f_s(x)=f_t(x)\) mit \(s\ne t\) liefert \(3x^2(t-s)=0\): alle Graphen gehen durch \(O(0\,|\,0)\).
• Parameter bestimmen:Bedingung aufstellen und nach \(t\) lösen: Extrempunkt auf der Höhe \(-4\) → \(-4t^3=-4\Rightarrow t=1\).

Rolle das Rad auf der \(t\)-Schiene — mit der Maus oder den Pfeiltasten. Der Graph von \(f_t\) wird neu gezeichnet, und der Extrempunkt bei \(x=2t\) hinterlässt eine orange Spur. Das abgerollte Band auf der Schiene zeigt, welche Parameterwerte schon dabei waren.

Halte fest: Die Spur aller Extrempunkte ist selbst ein Funktionsgraph — die Ortskurve. Auf ihr liegen die Extrempunkte aller Scharkurven, sie gehört aber zu keiner einzelnen \(f_t\).

Gesucht ist die Kurve, auf der alle Extrempunkte \(E_t\) mit \(x=2t\) liegen.

Herleitung:

• Wendepunkte:\(W_t(t\,|\,-2t^3)\) → Ortskurve \(y=-2x^3\).
• TI-Nspire CAS:\(\text{solve}(x=2\cdot t,t)\) liefert \(t=\frac{x}{2}\); danach \(-4\cdot t^3\,|\,t=\frac{x}{2}\) → \(-\frac{x^3}{2}\).
• Modellieren:Parameter an eine Sachbedingung anpassen und den sinnvollen Bereich für \(t\) angeben.