e-Funktion im Abitur: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Welches Modell passt?

AFB I

Eine Größe f(t) wird durch f(t) = 500 − 400 · e^(−0,2t) beschrieben. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

f(0) = 500 − 400 = 100; f′(t) = 80 · e^(−0,2t) ist am Anfang am größten und nimmt ab. Die Schranke wird nie erreicht — der e-Term ist immer positiv.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen zu Ableitung und Gleichungen mit e.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Kettenregel, Positivität von e^x und die Lage des Wendepunkts beim logistischen Wachstum sind die drei Klassiker im Teil A.

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim begrenzten Wachstum nähert sich f einer S an. Die Änderung ist proportional zum von S. Beim Zerfall heißt die Zeit, nach der nur noch die Hälfte übrig ist, . Beim logistischen Wachstum liegt die stärkste Zunahme im . Exponentialgleichungen löst man mit dem natürlichen

„Nullstelle“ bleibt übrig: Wachstumsfunktionen der Form a · e^(kt) mit a > 0 haben keine Nullstelle.

Welche Wachstumsart?

AFB I

Sortiere die Terme bzw. Beschreibungen nach der Wachstumsart.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1exponentiell

2begrenzt

3logistisch

Die Differentialgleichung verrät das Modell: proportional zu f, zum Abstand S − f oder zum Produkt aus beidem.

Blitzrechnung

AFB I

Ein Kapital wächst stetig nach K(t) = 5000 · e^(0,04t) (t in Jahren). Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt? (auf eine Nachkommastelle)

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

e^(0,04t) = 2 ⇒ t = ln 2 : 0,04 ≈ 17,3. Trick: Die Verdopplungszeit hängt nicht vom Startkapital ab — nur von k.

Exponentialgleichung lösen

AFB II

Löse 3 · e^(2x) + 5 = 17. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

15 subtrahieren: 3 · e^(2x) = 12

2durch 3 teilen: e^(2x) = 4

3logarithmieren: 2x = ln 4

4durch 2 teilen: x = ½ · ln 4

5vereinfachen: x = ln 2 ≈ 0,693

Wer vor dem Isolieren logarithmiert, landet bei ln(3e^(2x) + 5) — dafür gibt es keine Regel.

Rechenkette

AFB II

Die Zahl der Nutzer einer App wächst logistisch: N(t) = 20 000 / (1 + 19 · e^(−0,5t)) (t in Monaten).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Anfangswert N(0): Nutzer
Sättigungsgrenze S: Nutzer
Nutzerzahl beim Wendepunkt (S : 2): Nutzer
Zeitpunkt des Wendepunkts (zwei Nachkommastellen): Monate

Wendepunkt bei N = S/2: 1 + 19e^(−0,5t) = 2 ⇒ e^(−0,5t) = 1/19 ⇒ t = 2 · ln 19 ≈ 5,89.

Funktion und Ableitung

AFB II

Ordne jeder Funktion ihre Ableitung zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

ln(3x) = ln 3 + ln x — die Konstante ln 3 fällt beim Ableiten weg, deshalb 1/x.

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Beim begrenzten Wachstum wird der Anfangswert oft mit der Schranke verwechselt — immer f(0) einsetzen.

A10

Parameter verändern

AFB III

Beim begrenzten Wachstum f(t) = S − (S − f₀) · e^(−kt) wird jeweils ein Parameter geändert. Wie verändert sich der Wert nach 10 Zeiteinheiten? Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = sinkt stark, 2 = sinkt etwas, 3 = bleibt gleich, 4 = steigt etwas, 5 = steigt stark. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = sinkt stark5 = steigt stark

S wird verdoppelt (f₀ bleibt)

k wird etwas größer

f₀ wird etwas kleiner

k wird 0

Die Zeit wird in Minuten statt Stunden gemessen und k passend umgerechnet

S bestimmt das Niveau, k das Tempo; eine Einheitenumrechnung mit passendem k ändert nichts am Vorgang.