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e-Funktion im Abitur

Koffein, Gerüchte, Sättigung — zwei Aufgaben zum Modellieren mit der e-Funktion.

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1

Koffein im Blut

AFB I–II

Nach dem Trinken einer Tasse Kaffee wird die Koffeinmenge im Blut einer Person durch \(k(t)=150\cdot e^{-0{,}14t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden, \(k\) in mg).

  1. Nennen Sie die Koffeinmenge zu Beginn.
  2. Ermitteln Sie die Halbwertszeit.
  3. Berechnen Sie die momentane Abbaurate nach 3 Stunden und interpretieren Sie das Vorzeichen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
t = 0 einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(e^{-0{,}14t}=\tfrac12\) lösen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kettenregel für \(k'(t)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(k(0)=150\) mg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t=\dfrac{\ln2}{0{,}14}\approx4{,}95\) h: Nach knapp 5 Stunden ist nur noch die Hälfte im Blut.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(k'(t)=-21\cdot e^{-0{,}14t}\), \(k'(3)=-21e^{-0{,}42}\approx-13{,}8\) mg/h: Das Koffein nimmt um etwa 13,8 mg pro Stunde ab (Minus = Abnahme).

2

Ausbreitung eines Gerüchts

AFB II–III

An einer Schule mit 1200 Schülerinnen und Schülern verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl derer, die es kennen, wird durch \(G(t)=\dfrac{1200}{1+59\cdot e^{-0{,}8t}}\) beschrieben (\(t\) in Tagen). Die Schülervertretung meint: „Nach einer Woche weiß es praktisch die ganze Schule.“

  1. Zeigen Sie, dass anfangs 20 Personen das Gerücht kennen.
  2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich das Gerücht am schnellsten verbreitet.
  3. Überprüfen Sie die Aussage der Schülervertretung.
  4. Diskutieren Sie eine Grenze des Modells.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
t = 0 einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Beim logistischen Wachstum liegt die stärkste Zunahme bei der halben Sättigung.
Hinweis zu Aufgabe c)
G(7) berechnen und mit 1200 vergleichen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Was passiert real mit Menschen, die das Gerücht schon kennen? Welche Werte liefert G?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(G(0)=\dfrac{1200}{1+59}=20\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(G(t)=600\iff59e^{-0{,}8t}=1\iff t=\dfrac{\ln59}{0{,}8}\approx5{,}1\) Tage.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(G(7)=\dfrac{1200}{1+59e^{-5{,}6}}\approx\dfrac{1200}{1{,}218}\approx985\). Nach einer Woche kennen es etwa 985 von 1200, also gut 80 % — „praktisch alle“ ist übertrieben; 95 % werden erst nach etwa 8,8 Tagen erreicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Das Modell liefert nicht ganzzahlige Werte und nähert sich 1200 nur an. Real vergessen Menschen Gerüchte oder glauben sie nicht; nicht alle sind jeden Tag in der Schule (Wochenende). Für eine grobe Beschreibung des Anstiegs ist das Modell brauchbar.