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e-Funktion im Abitur

Heißer Tee, ein ladender Akku, eine wachsende Kultur: Welches Modell passt — und was verraten seine Parameter?

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Welches Wachstumsmodell?

Im Abitur beschreibt die e-Funktion meist einen Vorgang in der Zeit. Zuerst klären: Wächst es ohne Grenze, oder nähert es sich einem Wert?

  • Exponentiell:\(f(t)=a\cdot e^{kt}\) — die Änderungsrate ist proportional zum Bestand: \(f'(t)=k\cdot f(t)\).
  • Halbwerts-/Verdopplungszeit:\(T=\dfrac{\ln 2}{\lvert k\rvert}\).
  • Begrenzt:\(f(t)=S-c\cdot e^{-kt}\) — die Rate ist proportional zum Abstand zur Grenze: \(f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\).
  • Deutung:\(S\) Grenzwert (Raumtemperatur, volle Ladung), \(S-c=f(0)\) Anfangswert, \(k\) Tempo mit Einheit „pro Minute“.
  • Logistisch (eA):\(f'(t)=k\cdot f(t)\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) — anfangs fast exponentiell, dann begrenzt; am schnellsten bei \(f=\tfrac S2\).
  • Aus Daten:GTR: MENU 2, Daten in List 1 und List 2, F2 (CALC) → F3 (REG) → Exp → \(a\cdot e^{bx}\); beim begrenzten Modell erst \(S\) abschätzen.

Stelle mit den drei Reglern \(S\), \(f(0)\) und \(k\) die Kurve \(f(t)=S-(S-f(0))\cdot e^{-kt}\) so ein, dass sie möglichst nah an den Messpunkten liegt. Die senkrechten Striche zeigen die Abweichungen.

Modell an Messwerte anpassen

Halte fest: Grenze und Anfangswert liest man fast direkt aus den Daten ab; \(k\) steuert nur, wie schnell die Kurve von \(f(0)\) zu \(S\) übergeht.

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Typische Fragen beantworten

Ein Kuchen kommt aus dem Ofen: \(T(t)=22+158\cdot e^{-0{,}05t}\) (\(t\) in Minuten, \(T\) in °C). Wann ist er auf 40 °C abgekühlt?

Herleitung:

\(22+158\cdot e^{-0{,}05t}=40\)
| \(-22\)
Ansatz: Funktionswert gleich 40 setzen.
\(158\cdot e^{-0{,}05t}=18\)
| \(:158\)
Die Potenz muss allein stehen, bevor logarithmiert wird.
\(e^{-0{,}05t}=\tfrac{18}{158}\)
| ln
Rechte Seite positiv — die Gleichung ist lösbar.
\(-0{,}05t=\ln\tfrac{18}{158}\)
| \(:(-0{,}05)\)
\(\ln\tfrac{18}{158}\approx-2{,}172\).
\(t\approx43{,}4\)
Ergebnis
Nach gut 43 Minuten hat der Kuchen 40 °C.
  • Wie schnell?\(T'(t)\) mit Einheit: \(T'(10)\approx-4{,}8\) °C pro Minute.
  • Wann am schnellsten?beim begrenzten Modell am Anfang — dort ist der Abstand zur Grenze am größten.
  • Langfristig:\(e^{-kt}\to0\), also \(T(t)\to22\) °C: die Raumtemperatur.
  • Basis e:Ableitungen von \(a^x\) mit \(a\neq e\) werden in Niedersachsen nicht erwartet — Modelle stehen mit \(e\).
Merke

Begrenztes Wachstum: \(f(t)=S-\bigl(S-f(0)\bigr)\cdot e^{-kt}\)

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Allgemeine Hinweise

Auf das Vorzeichen achten

Im Ansatz \(S-c\cdot e^{-kt}\) ist \(k>0\). Das Minus im Exponenten sorgt für das Annähern an \(S\) — nicht ein negatives \(k\).

Erst isolieren, dann logarithmieren

\(\ln\) wirkt nur auf die reine Potenz \(e^{\ldots}\). Summanden und Faktoren vorher auf die andere Seite bringen.

Einheiten deuten

\(k=0{,}05\) pro Minute heißt: Der Abstand zur Grenze schrumpft anfangs um knapp 5 % pro Minute.

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