MINT lernen

Der hilfsmittelfreie Teil

Ohne Rechner, ohne Formelsammlung — zwei Aufgaben im Stil des Prüfungsteils A.

Dein Fortschritt:
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Funktionsuntersuchung ohne Rechner

AFB I–II

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).

  1. Zerlegen Sie den Funktionsterm in Linearfaktoren.
  2. Geben Sie die Nullstellen von \(f\) und ihre Vielfachheit an.
  3. Bestimmen Sie die Extrempunkte von \(f\).
  4. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der \(x\)-Achse einschließt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
x ausklammern, dann binomische Formel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Aus der Faktorzerlegung ablesen.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Zwischen 0 und 3 ist \(f\ge0\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x=0\) (einfach) und \(x=3\) (doppelt — dort berührt der Graph die \(x\)-Achse).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(f'(x)=0\iff x=1\) oder \(x=3\). \(f''(x)=6x-12\): \(f''(1)=-6<0\) → \(H(1\,|\,4)\), \(f''(3)=6>0\) → \(T(3\,|\,0)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\int_0^3(x^3-6x^2+9x)\,dx=\left[\tfrac14x^4-2x^3+\tfrac92x^2\right]_0^3=\tfrac{81}{4}-54+\tfrac{81}{2}=\tfrac{27}{4}\).

2

Vektoren und Wahrscheinlichkeit ohne Rechner

AFB II–III

Gegeben sind die Punkte \(A(1\,|\,0\,|\,2)\), \(B(3\,|\,2\,|\,3)\) und \(C(0\,|\,2\,|\,0)\). In einer zweiten Teilaufgabe wird eine faire Münze viermal geworfen.

  1. Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(A\) einen rechten Winkel hat.
  2. Bestätigen Sie, dass das Dreieck den Flächeninhalt 4,5 FE hat.
  3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, bei vier Münzwürfen genau zweimal Kopf zu erhalten.
  4. Beurteilen Sie die Aussage „Bei vier Würfen ist zweimal Kopf das wahrscheinlichste Ergebnis, also tritt es meistens ein.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Skalarprodukt der Seitenvektoren an A.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechtwinkliges Dreieck: halbes Produkt der Katheten.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\binom42\) ohne Rechner.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wahrscheinlichster Wert heißt nicht „meistens“.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\overrightarrow{AB}=(2\,|\,2\,|\,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1\,|\,2\,|\,-2)\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+4-2=0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=3\), \(\lvert\overrightarrow{AC}\rvert=3\), \(A=\tfrac12\cdot3\cdot3=4{,}5\) FE.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\binom42\cdot0{,}5^4=\tfrac{6}{16}=\tfrac38\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Zwei Treffer sind zwar am wahrscheinlichsten (\(\tfrac38\)), aber in \(\tfrac58\) der Fälle kommt etwas anderes heraus. „Meistens“ stimmt deshalb nicht.