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Wahrscheinlichkeit im Abitur

Bremsen, Beleuchtung, Ausschuss — zwei Aufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeiten und Binomialverteilung.

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Fahrradcheck

AFB I–II

Bei einer Fahrradkontrolle an einer Schule haben 30 % der Räder defekte Bremsen (B). Von den Rädern mit defekten Bremsen hat die Hälfte auch eine defekte Beleuchtung (L); von den Rädern mit intakten Bremsen haben 20 % eine defekte Beleuchtung.

  1. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rad mit defekter Beleuchtung auch defekte Bremsen hat.
  3. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse B und L stochastisch unabhängig sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Erst die Schnitte B ∩ L und B̄ ∩ L berechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gesucht ist \(P_L(B)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(P(B)\cdot P(L)\) mit \(P(B\cap L)\) vergleichen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(B\cap L)=0{,}15\), \(P(B\cap\bar L)=0{,}15\), \(P(\bar B\cap L)=0{,}14\), \(P(\bar B\cap\bar L)=0{,}56\); Summen \(P(L)=0{,}29\), \(P(\bar L)=0{,}71\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P_L(B)=\dfrac{0{,}15}{0{,}29}\approx0{,}517\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(B)\cdot P(L)=0{,}3\cdot0{,}29=0{,}087\ne0{,}15\) — abhängig: Wer die Bremsen nicht pflegt, vernachlässigt häufiger auch das Licht.

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Qualitätskontrolle

AFB II–III

Ein Hersteller von LED-Lampen gibt an, dass 4 % der Lampen defekt sind. Ein Händler prüft eine Lieferung, indem er 50 Lampen zufällig entnimmt. Er schickt die Lieferung zurück, wenn mehr als 4 defekt sind.

  1. Begründen Sie, warum die Anzahl \(X\) der defekten Lampen näherungsweise binomialverteilt ist.
  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung mit 4 % Ausschuss zurückgeschickt wird.
  3. Vergleichen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit der Rücksendewahrscheinlichkeit, wenn tatsächlich 10 % defekt sind.
  4. Nehmen Sie Stellung zur Entscheidungsregel des Händlers.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Worauf kommt es bei einer Bernoulli-Kette an?
Hinweis zu Aufgabe b)
\(P(X>4)=1-P(X\le4)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Gleiche Rechnung mit p = 0,1.
Hinweis zu Aufgabe d)
Zwei Fehlerarten abwägen: gute zurückschicken, schlechte behalten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jede Lampe ist defekt oder nicht; die Lieferung ist sehr groß, sodass sich \(p=0{,}04\) beim Ziehen praktisch nicht ändert und die Entnahmen als unabhängig gelten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X\ge5)=1-\text{binomCdf}(50;0{,}04;0;4)\approx1-0{,}951=0{,}049\) — knapp 5 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(P(X\ge5)=1-\text{binomCdf}(50;0{,}1;0;4)\approx1-0{,}431=0{,}569\). Eine schlechte Lieferung wird nur in gut der Hälfte der Fälle erkannt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Gute Lieferungen werden selten zu Unrecht zurückgeschickt (ca. 5 %), schlechte aber in über 40 % der Fälle angenommen. Für den Händler ist die Regel zu großzügig; eine größere Stichprobe oder eine niedrigere Grenze würde schlechte Lieferungen zuverlässiger erkennen.