Lagen, Abstände, Winkel: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Welches Verfahren?

AFB I

Welche Zuordnungen von Aufgabe und Verfahren sind richtig?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Schneidende Geraden haben Abstand 0; zwei Ebenen schließen den Winkel ihrer Normalenvektoren ein (Kosinus); bei parallelen Ebenen muss man noch durch |n| teilen.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Lage und Abstand.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Lage vor Abstand: Erst klären, ob sich die Objekte schneiden — dann ist der Abstand 0.

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der kürzeste Weg von P zu einer Geraden endet im . Für den Abstand Punkt–Ebene teilt man durch den Betrag des . Ohne könnte ein Abstand negativ werden. Geraden, die sich weder schneiden noch parallel sind, heißen . Der Winkel zu n ist der des Winkels zur Ebene.

Der Stützvektor legt nur einen Startpunkt fest — für Abstände und Winkel spielt seine Wahl keine Rolle.

Lage von Gerade und Ebene

AFB I

g: x = p + r · u, E: n · x = d. Ordne die Befunde zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Schnittpunkt

2g parallel zu E

3g liegt in E

Der Schlüssel ist u · n: Nur bei 0 kann die Gerade parallel sein — dann entscheidet die Punktprobe.

Blitzrechnung

AFB I

Berechne den Abstand von P(1 | 2 | 3) zur Ebene E: 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 0.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

d = |2 + 4 + 3 − 0| : √(4 + 4 + 1) = 9 : 3 = 3. Trick: Normalenvektoren wie (2 | 2 | 1) oder (1 | 2 | 2) haben den Betrag 3.

Abstand Punkt–Gerade

AFB II

Bestimme den Abstand von P zu g: x = a + r · u mit dem Lotfußpunkt. Bringe die Schritte in die Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Allgemeinen Geradenpunkt F_r = a + r · u notieren

2Vektor PF_r = F_r − P bilden

3Bedingung PF_r · u = 0 aufstellen

4Nach r lösen und F bestimmen

5Abstand d = |PF| berechnen

Wer den Betrag vor der Orthogonalitätsbedingung berechnet, misst zu einem beliebigen Geradenpunkt — nicht zum nächstgelegenen.

Rechenkette

AFB II

Gegeben sind P(3 | 0 | 4) und die Gerade g: x = (0 | 0 | 0) + r · (1 | 0 | 0), also die x₁-Achse.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Lotfußpunkt F: x₁-Koordinate
Länge PF: LE
Abstand von P zur x₂-Achse: LE
Abstand von P zur Ebene x₃ = 0: LE

Abstand zu einer Koordinatenachse: die beiden anderen Koordinaten nach Pythagoras; zur x₂-Achse √(3² + 4²) = 5.

Situation und Winkel

AFB II

Ordne jeder Situation den Winkel zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Entgegengesetzte Richtungsvektoren beschreiben dieselbe Richtung — der Winkel zwischen Geraden ist dann 0°.

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Der Betrag des Normalenvektors wird oft falsch berechnet oder ganz vergessen.

A10

Wie ändert sich der Abstand?

AFB III

P hat von E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3 den Abstand 2. Es wird jeweils etwas verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird null, 2 = wird kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = wird größer, 5 = verdoppelt sich genau. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = wird null5 = verdoppelt sich genau

P wird um 2 · n : |n| von E weg verschoben

P wird parallel zu E verschoben

P wird in Richtung −n bis in die Ebene verschoben

E wird mit dem Faktor 3 multipliziert

P wird um die Hälfte von PF auf E zu verschoben

Nur die Bewegung senkrecht zu E zählt; Verschiebungen parallel zu E und Vielfache der Gleichung ändern nichts.